Мельник В.М., Карачун В.В.

Національний технічний університет України «КПІ»

ЛІНІЙНО-ПРУЖНА МОДЕЛЬ ДІЇ ЗВУКОВОЇ ХВИЛІ НА ПЛАСТИНУ

При нестаціонарній пружній взаємодії, диференціальне рівняння збуреного згинного руху пластини можна записати у вигляді:

, (1)

де ; – час.

Праву частину рівняння задамо наступним чином

, (2)

де .

Розв’язок рівняння (1) шукаємо у вигляді:

. (3)

Підставимо (3) у вихідне рівняння (1):

, (4)

де .

Відшукуємо наближені розв’язки у формі:

. (5)

Стовпець

(6)

підлягає визначенню.

Підстановка (5) в рівняння (4) приводить до наближеної рівності

, (7)

для якої стовпець (6) вважаємо за найбільш слушний у тому розумінні, що проекції лівої і правої частин виразу (7) на лінійну оболонку образів координатних функцій були би рівними.

Помножимо обидві частини рівності (7) на

.

Одержуємо:

. (8)

Матриця Грама образів координатних функцій має вигляд:

.

Матрицю Грама координатних функцій по енергії оператора . Запишемо наступними чином–

, (9)

. (10)

Знаючи матрицю Грама образів координатних функцій, а також матрицю Грама координатних функцій по енергії оператора (10), систему (8) можна навести інакше –

. (11)

Якщо , то ця система однозначно розв’язувана, тобто

. (12)

У зв’язку з тим, що матриця неособлива (невироджена), тому

,

де – одинична матриця. Отже,

;

.

Але є многочлен ступеня відносно . І якщо виявиться додатним коренем цього рівняння, тоді система (11) може стати нерозв’язуваною.

Проаналізуємо цю тезу докладніше. Припустимо для простоти, що рівняння однорідне –

, (13)

де , при однорідних граничних умовах.

Ненульові розв’язки шукаємо у вигляді

, (14)

де множник задовольняє граничним умовам (13). Підставляючи (9.41) в рівняння (13), одержуємо:

; , де . (15)

. (16)

Наближений розв’язок задачі (15) шукаємо у вигляді

(17)

де – координатні функції.

Таким чином, після підстановки виразу (17) у співвідношення (13), отримуємо наближену рівність –

(18)

з невідомим стовпцем .

Як і в попередньому, найкращим вважається стовпець, при якому проекції лівої і правої частини виразу (18) на лінійну оболонку образів координатних функцій дорівнюють одна одній, тобто

.

Стовпець не повинен бути нульовим, тому

.

З додатної визначенності оператора походить, що і, отже, постають додатними коренями многочлена . В нашій задачі вони являються наближеними власними числами оператора .

Приймаючи до уваги, що , з виразу (16) з’ясовуємо:

.

Це означає, що у прийнятому наближенні власні частоти обчислюються за формулами –

.

Отже, для того, щоб задача визначення вимушених коливань, задача (4), була розв’язуваною, необхідно вилучити співпадання частот щільності акустичного випромінювання і власних. Іншими словами, запобігти частотному резонансу.

Якщо обмежитися тільки першими трьома координатними функціями

тоді матриця виявиться діагональною

. (19)

Нулі її визначника будуть спостерігатися за умови, що

;

з одночасним виконанням співвідношення

.