К.ф.-м.н. Лисенко М. В., Панасенко Н.Л.

Полтавський національний технічний університет імені Юрія Кондратюка

Економіко-математична модель задачі реалізації множини проектів

При дослідженні проблем регіональної економіки важливе значення має проблема підвищення ефективності реалізації інвестиційних проектів. При цьому значний економічний ефект може бути отриманий за рахунок реалізації таких проектів, де потрібні різні ресурси, запас яких в регіоні обмежений. Найповніше використання джерел ресурсів може бути забезпечено пріоритетом реалізації тих проектів, впровадження яких створює додаткові можливості для реалізації інших проектів [1].

Відомо, що задача реалізації проектів звичайно є багатокритеріальною. Варіанти оцінюють за критеріями Е₁, Е₂, Е₃, Е₄,..., Е_m, на основі яких розробляється загальний критерій, або виділяється основний [2,3].

Метою дослідження являється розробка економіко-математичної моделі оптимізації послідовності реалізації проектів. В даній моделі можливе поновлення ресурсів при реалізації проектів, коли вчасна реалізація одних проектів відкриває додаткові можливості для реалізації інших. Це робить модель динамічною. Поряд із обмеженнями на ресурси розглядаються і обмеження на можливість одночасної роботи над реалізацією декількох проектів [4].

Позначимо через В₁, В₂ ,В₃ ,В₄,..., В_n проекти, які потрібно реалізувати, а через А₁,А₂, А₃, А₄,...,А_r.- потрібні для цього ресурси. Для реалізації проекту В_i потрібно а_ij ресурсу А_j, ., а після реалізації проекту В_і додатково створюється b_іj цього ресурсу. Перед початком реалізації проектів запаси ресурсів складають а_j.

Поряд з обмеженнями на ресурси розглядаються якісні обмеження трьох видів: обмеження першого виду забороняють реалізацію всієї кількості проектів певної підмножини, тобто частина проектів цієї підмножини повинна залишитись нереалізованими; обмеження другого виду означають неможливість паралельної роботи над реалізацією проектів певної підмножини, але дозволяють послідовно реалізовувати ці проекти; обмеження третього виду дозволяють реалізацію певних проектів тільки після реалізації визначеної підмножини проектів. Вказані якісні обмеження можна замінити відповідними кількісними за допомогою введення додаткових видів ресурсів. Це дає можливість розглядати в моделі якісні обмеження нарівні з кількісними.

Визначаємо на множині проектів функцію , , яка ставить в відповідність проектові B_i період його реалізації. Довжина і-того періоду визначається такою, щоб забезпечити реалізацію всіх проектів, для яких g( В )=і.

Якщо реалізація проекту не передбачена, то вважаємо. Така функція визначає певний варіант реалізації, якщо 0Im g, то реалізованими виявляються всі проекти. Варіант називаємо реалізованим, якщо перед початком кожного періоду є достатній запас ресурсів для реалізації проектів, які заплановані на цей період.

Позначимо через д(i,j) функцію, яка дорівнює 0 при i≠j і рівна 1 при і=j . Варіант, який визначається функцією :, є реалізованим тоді, коли

де - періоди.

Для визначення оптимальної послідовності реалізації проектів вибираємо варіант :, для якого відображення , де G – множина проектів, які відображаються не в 0, переводить різні проекти в різні значення. Такий варіант визначає ланцюжок реалізації. Параметрами ланцюжка є його довжина та відповідне значення загального або основного критерію. Оптимальний варіант визначається ланцюжками, які не можна збільшити і значення критерію для яких є найбільшим або найменшим.

Для попередньої оцінки варіантів можна використати оцінки довжини ланцюжка і значення критерію, які визначаються динамічно при розв’язанні задачі. Щоб оцінити довжини ланцюжків, ми розглядаємо задачі, в яких реалізація проектів вимагає лише деякі види ресурсів, а значення критерію для всіх проектів однакові. Розв’язавши ці задачі, ми визначаємо найбільші можливі довжини ланцюжків. Як тільки ми одержали ланцюжок, який, можливо, визначає оптимальний варіант, ми беремо значення критерію для цього ланцюжка в якості оцінки. Оцінки довжини і значення критерію дають можливості при виборі варіанта продовження ланцюжка відкидати безперспективні варіанти. Якщо довжина ланцюжка дорівнює j , значення критерію для даного ланцюжка V, оцінка критерію W, оцінка довжини Р і ми вибрали для продовження ланцюжка проект із значенням критерію t, то значення критерію на проекті, які не включені до ланцюжка, повинно бути не менше ніж , інакше вибраний для доповнення проект не може визначати оптимальної послідовності реалізації.

Визначення оптимального варіанта реалізації проектів на основі даної моделі можна реалізувати на ЕОМ і використати для розв’язання прикладних задач керування проектами в регіональній економіці.

Література

1. Л.В. Дрожжина, О.О. Скалозуб. Математична модель задачі вибору інноваційних проектів і розподілу капіталовкладень. Теоретична економія та її застосування. Випуск 3, Динамічні моделі в економіці. Збірник наукових праць, Дніпропетровськ, РВВ ДГУ, 2000, с. – 44-47.

2. Б.Б.Бигеев, А.В.Лукин. Выбор оптимальной инвестиционной стратегии, Теоретична економія та її застосування. Випуск 3, Динамічні моделі в економіці. Збірник наукових праць, Дніпропетровськ, РВВ ДГУ, 2000, с. 48-55.

3. Кігель В. Р. Математичні методи ринкової економіки: Навчальний посібник. К.: Кондор, 2003. – 158 с.

4. Н. Кристофидес. Теория графов. Алгоритмический подход, Москва, Мир 1978, 433 с.