Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А.,
Правдиков П.И.
Белорусский государственный педагогический университет
РЕДУЦИРОВАНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В
ФОРМАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Предметом исследования
является следующее дифференциальное уравнение
, (1)
где
, (2)
(
)
в некоторой области ;
– известные
комплексные функции, заданные в области
;
,
,
.
Дифференциальный
оператор, определяемый равенством (2), называется формальной производной [1,2].
Для исследования
дифференциального уравнения (1) нам потребуются функции, моногенные в смысле
В.С. Фёдорова [3,4].
Определение 1.
Комплексная или гиперкомплексная функция называется моногенной
в смысле В.С. Фёдорова по функции
в области
, если в каждой точке области
выполняется условие
. (3)
Заметим, что уравнению
вида (1) при
посвящён ряд работ. И.Н.
Векуа функции, удовлетворяющие уравнению (1) при
, назвал обобщёнными аналитическими функциями [5].
Целью настоящей работы
является приведение (редукция) к интегральному уравнению уравнения (1) и
исследование полученного интегрального уравнения.
Теорема 1. Уравнение (1)
редуцируется к следующему интегральному уравнению:
, (4)
где ,
,
,
;
– функция, моногенная
в смысле В.С. Фёдорова по
в области
;
;
определяется формулой
(
);
;
– вариации
относительно некоторой
кривой
, которая принадлежит области
и содержит внутри себя
точку
.
Доказательство. 1. В работе [2] получено следующее
интегральное представление:
, (5)
где – функция, моногенная
в смысле В.С. Фёдорова по
в области
.
Используя формулу (), представление (5) запишем в виде:
. (6)
Из равенств (6) и (1) и
получим интегральное уравнение (4).
Итак, если функция удовлетворяет
уравнению (1), то она удовлетворяет интегральному уравнению (4).
2. Покажем, что если функция удовлетворяет
уравнению (6), то она удовлетворяет и уравнению (1).
Введём обозначение
, (7)
где .
Как следует из работы [2],
. (8)
Из формулы (3) следует,
что
. (9)
Из равенств (4), (6), (8)
и (9) и вытекает последнее утверждение.
Имеет место также
следующая теорема.
Теорема 2. Если
,
,
функция удовлетворяет в
области
условию
,
,
,
,
,
то оператор
является вполне непрерывным
в области
.
Литература
1. Гусев В.А. Об одном обобщении
ареолярных производных // Bul. stiint. al Instit. politehnic Timisoara. 1962. T.7. F.2. P.223-238.
2. Pascali D. Monogeneitatea Fedorov in plan // Studii si cercetari matematice Acad. RPR. 1964. T.16. №10. P.1231-1241.
3. Фёдоров В.С. Основные свойства
обобщённых моногенных функций// Известия вузов. Математика. 1958. №6.
С.257-265.
4. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Решение
краевой задачи для одного класса функционально-инвариантных
вектор-аналитических функций // Весцi НАН Беларусi. Серыя фiз.-мат. навук. 2006. №1. С.44-47.
5. Векуа И.Н. Обобщенные аналитических
функций. М., 1959.