Кононенко Р.М.

Сумський національний аграрний університет, Україна

Ігрові методи прийняття управлінських рішень

Кожна ситуація є достатньо складною і залежить від великої кількості різноманітних (суттєвих і несуттєвих) факторів, тому приймати рішення в таких умовах складно. Для реалізації можливості математичного аналізу ситуації необхідним є вилучення з розгляду багатьох неістотних факторів. У результаті такого вилучення формується спрощена схематизована модель ситуації, яка називається грою.

За допомогою теорії ігор можна досліджувати системи економічних суб’єктів для обґрунтування раціональної поведінки керівних органів управління фірм, галузей, спільних підприємств тощо в конкретних ринкових ситуаціях („іграх”), де кожний учасник, не володіючи важелями повного впливу на інших, повинен діяти так, щоб досягти для себе найкращих результатів.

Гра має певні правила, в яких визначена кількість учасників (гравців), їх можливі дії, виграші та розподіл між учасниками залежно від поведінки усіх гравців. Поведінка гравця називається його стратегією. Кожен гравець володіє або скінченою, або нескінченною кількістю власних стратегій. Виграш кожного гравця визначається стратегіями, які обрали усі учасники гри, причому у момент прийняття гравцем свого рішення вибір інших гравців йому може бути невідомим. Виграшем в економічній „грі”, як правило, є доход або прибуток гравця. Збитки гравця означають, що його виграш від’ємний.

Суб’єкт прийняття рішення називається гравцем, а цільова функція – платіжною функцією. У грі можуть брати участь кілька гравців, причому деякі з них можуть вступати між собою в постійні або тимчасові коаліції. Стратегія гравця – план, відповідно до якого гравець здійснює вибір своєї дії у будь – якій можливій ситуації і при будь – якій можливій інформації.

Завдання теорії ігор полягає у визначенні оптимальних стратегій гравців, тобто стратегій, які при багаторазовому повторенні гри забезпечують гравцям максимально можливий середній виграш.

Розглянемо скінченну гру, в якій гравець А має m стратегій , а гравець В – n стратегій . Таку гру називають mxn. Визначення оптимальних стратегій гравців для випадку скінченої гри з нульовою сумою двох учасників може бути представлено матрицею:

,

де стратегії гравця А позначені номерами відповідних рядків :1,2,…,m; стратегії гравця В номерами колонок: 1,2,…,n. Нехай гравець А вибрав деяку стратегію А_і, а гравець В деяку стратегію В_j. Такий вибір визначає результат гри. Позначимо останній через a_ij. Величина a_ij визначає виграш гравця А.

Якщо гравець А обере свою і – ту стратегію, а гравець В – свою j-ту стратегію. За цієї умови виграш гравця В складе величину, яка протилежна виграшу гравця А, тобто він дорівнюватиме у цій ситуації (-a_ij). Кожен гравець намагається діяти таким чином, щоб його власний виграш був якнайбільшим.

Наприклад, гравець А вибрав деяку стратегію А_і. Тоді в найгіршому разі (наприклад, якщо його вибір стане відомим гравцю В) він одержить виграш, рівний . Передбачаючи таку можливість, гравець А повинен вибрати таку стратегію, щоб максимізувати свій мінімальний виграш, тобто стратегію, яка забезпечує . Число буде нижньою ціною гри. Величина - гарантований виграш гравця А. стратегія А_і0, яка забезпечує отримання , називається максиміною.

Гравець В, вибираючи стратегію виходить з наступного припущення: при виборі деякої стратегії В_j його програш не перевищить максимального із значень елементів j- го стовпця матриці, тобто буде меншим або рівним . Розглядаючи множину для різних значень j, гравець В, природно вибере таке значення j, при якому його максимальний програш мінімізується, тобто таку стратегію В_j, яка забезпечить . Число буде верхньою ціною гри. Стратегія В_j0, яка забезпечує отримання , називається мінімаксною.

Фактично виграш гравця А при розумних діях гравців обмежений нижньою і верхньою ціною гри. Якщо ці вирази рівні, тобто чи , то гра називається грою з сідловою точкою, а число - ціною гри.

Елемент в матриці гри є одночасно мінімальним у рядку і₀ та максимальним у стовпці j₀ і називається сідловою точкою. Сідло вій точці відповідають оптимальні стратегії гравців. Отже, їх сукупність – це розв’язок гри, який має наступну властивість: якщо один з гравців притримується своєї оптимальної стратегії, то для іншого відхилення від його оптимальної стратегії не може бути вигідним.

Серед скінченних ігор, що мають практичне значення, ігри з сідловою точкою зустрічаються рідко. Більш типовим є випадок, коли . Такі ігри називаються іграми без сідлової точки.

Розглянемо скінченну гру mxn, яка не має сідлової точки. Якщо кожному гравцю надати можливість вибору однієї чистої стратегії, то цей вибір, має визначатися принципом мінімаксу. При цьому гравець А гарантує собі виграш рівний , а гравець В - програш . Для кожного гравця природним є питання збільшення виграшу (зменшення програшу). Пошуки такого роз’язку полягають у тому, що гравці застосовують не одну, а декілька стратегій. Вибір стратегій здійснюється випадково. Тобто гравці вибирають змішані стратегії.

У грі, матриця якої має розміри mxn, стратегії гравця А задаються наборами ймовірностей Х=(х₁, х₂, …, х_m), з якими гравець застосовує свої початкові чисті стратегії.

Визначення оптимальної стратегії в даній задачі дозволяє отримати виграш, рівний ціні гри: . Для оптимальних стратегій гравців має місце співвідношення .

Задача розв’язування гри, якщо її матриця не містить сідлової точки, тим складніша, чим більші значення m та n. Тому в теорії матричних ігор розглядаються способи, за допомогою яких розв’язування одних ігор зводиться до розв’язування інших, більш простіших. Скоротити розмірність матриці можна, виключаючи дублюючі і наперед невигідні стратегії.

Дублюючими будуть стратегії, яким відповідають однакові значення елементів у платіжній матриці, тобто містяться однакові рядки чи стовпці.

Якщо ж всі елементи і – го рядка матриці менші відповідних елементів k – го рядка, то і-та стратегія для гравця А називається наперед невигідною. Або якщо елементи r – го стовпця матриці більші відповідних елементів j-го стовпця, то для гравця В стратегія Вr наперед невигідна.

Найбільш простою матричною грою без сідловок точки є гра, в якій кожен з гравців має дві стратегії, тобто гра 2х2. Платіжна матриця такої гри має вигляд: .

Розв’язком даної гри є змішані стратегії Х=(х₁, х₂), Y=(y₁,y₂). Згідно з основною теоремою теорії ігор, застосування оптимальної стратегії Х=(х₁, х₂) забезпечує для гравця А отримання виграшу при будь – яких стратегіях гравця В. Оптимальна стратегія для гравця В також змішана. Тому, якщо гравець В застосовує свою оптимальну стратегію, то він може використати одну з чистих стратегій і величина виграшу гравця А залишиться незмінною.

Використовуючи геометричну інтерпретацію, можна знайти розв’язок ігор, заданих платіжною матрицею 2xn. Кожній стратегії гравця А відповідає пряма. На прямих фіксуються виграші гравця А при реалізації стратегій, відповідно А₁ і А₂. Прямі, що з’єднують відповідні точки на цих прямих визначають стратегії гравця В. Вони визначають нижню межу вигашу. Точка перетину, що лежить на нижній границі, для якої величина виграшу найбільша, визначає ціну гри та її роз’вязок. Аналогічно може бути розв’язана гра з платіжною матрицею mx2. У цьому випадку будується верхня межа виграшу і на ній визначається мінімум.

Застосування теорії ігор для оцінки конкретних ситуацій при прийнятті управлінських рішень має широкі можливості. Проте обмеженість використання даного методу пояснюється складністю побудови платіжної матриці та неоднозначністю вибору стратегії поведінки гравця.

Література:

1. Боровик О.В., Боровик Л.В. Дослідження операцій в економіці: Навчальний посібник. – К.: Центр учбової літератури, 2007. – 424с.

2. Кігель В.Р. Математичні методи ринкової економіки: Навчальний посібник. – К.: Кондор, 2003. – 158с.

3. Лук’янова В.В., Головач Т.В. Економічний ризик: Навчальний посібник. – К.: Академвидав, 2007. – 464с.