Родионова З.Н. к.т.н., Есипенко Л.П. к.ф-м.н., Шестакова Е.Б.

Восточно-Казахстанский Государственный технический университет

им. Д. Серикбаева

Напряженное состояние трансверсально-изотропного полупространства

Рассматривается анизотропное тело. В общем случае анизотропии уравнения закона Гука содержат 36 упругих постоянных.

Если внутреннее строение материала обладает симметрией какого-либо рода, то и в упругих его свойствах наблюдается симметрия. Для кристаллов связь между симметрией строения и упругой симметрией устанавливается принципом Неймана: материал в отношении своих физических свойств обнаруживает симметрию того же рода, что и его кристаллографическая форма. Упругая симметрия более совершенна, чем геометрическая, так как кроме эквивалентных напряжений, совпадающих с симметричными направлениями структуры, существуют и другие, для которых упругие свойства одинаковы. Если анизотропное тело обладает упругой симметрией, то уравнения закона Гука для него упрощаются.

Рассматривается полупространство обладающее следующими упругими свойствами: через каждую точку его проходит ось упругой симметрии, иначе ось симметрии вращения. Все направления в плоскостях перпендикулярных к этой оси, эквивалентны в отношении упругих свойств и тело является изотропным в этих плоскостях. Уравнение обобщенного закона Гука, отнесенные к системе координат, у которой ось «Z» перпендикулярна плоскости изотропии, имеют вид:

; ;

; ; ; (1)

.

Здесь E_r, E_z - модули Юнга для растяжения (сжатия) по направлениям, лежащим в плоскостях изотропии и перпендикулярных к ним;

ν - коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие в плоскости изотропии при растяжении в этой же плоскости;

v₁, - коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие в плоскости изотропии, при растяжении в направлении перпендикулярном к ней;

G - модуль сдвига;

Тело, обладающее указанными упругими свойствами называется трансверсально-изотропным. Рассмотрено действие сосредоточенной силы «Р», приложенной на поверхности трансверсально-изотропного полупространства, ограниченного горизонтальной плоскостью и имеющего безграничное протяжение во всех направлениях (рисунок 1).

Рисунок 1

Ось Z - ось трансверсально-изотропного тела вращения, а плоскости перпендикулярные оси Z - плоскости изотропии.

Примем цилиндрическую систему координат. Ось Z - вертикально, ось r - произвольно в горизонтальной плоскости. В соответствии с [1] при действии сосредоточенной силы нормальные напряжения s_Z в точке полупространства выражены следующей формулой:

,

где . (2)

Здесь ;

;

; ; (3)

; ;

; ; ; ; .

Z - расстояние по вертикали от поверхности до рассматриваемой горизонтальной площадки.

.

Величина G - модуля сдвига для анизотропного тела является независимой величиной. В дальнейшем принимается его наименьшее значение для всякого отношения модулей упругости , то есть

, при .

Для анализа характера изменения напряжений s_z по горизонтальной площадке полупространства от действия на его поверхности вертикальной сосредоточенной силы «Р» нами составлены таблицы a_z для следующих отношений модулей упругости , при следующих значениях коэффициента Пуассона: v = v₁ = 0,2; v = v₁ = 0,3; v = v₁ = 0,4.

Таблица значений при

n1=n	0	0,25	0,5	0,75	1	5
0,2	0,46	0,375	0,231	0,129	0,073	0,0029
0,3	0,575	0,468	0,252	0,124	0,069	0,0024
0,4	1,5	0,795	0,274	0,109	0,05	0,001
изотропное полуполупространство	0,477	0,41	0,273	0,156	0,054	0,001

Таблица значений при

n1=n	0	0,25	0,5	0,75	1	3
0,2	0,67	0,531	0,3	0,151	0,074	0,001
0,3	0,669	0,529	0,3	0,15	0,075	0,0012
0,4	0,668	0,526	0,298	0,149	0,075	0,0012

Рассмотрев характер распределения можно отметить, что:

При отношении , для одного и того же значения этого отношения величина вертикального сжимающего напряжения по линии действия силы уменьшается с увеличением коэффициента Пуассона;

При отношении для одного и того же значения этого отношения величина по линии действия силы увеличивается с увеличением коэффициента Пуассона.

Список литературы

1. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропных тел. гос. издательство технико-теоретической литературы, 1950 г.