Делей В.И., Ленюк М.П.
Чернівецький факультет
НТУ “Харківський політехнічний
інститут”
СУММИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ ПО СОБСТВЕННЫМ ЭЕЛЕМЕНТАМ ГИБРИДНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЭЙЛЕРА-БЕССЕЛЯ НА СЕГМЕНТЕ [R0, R2]
ПОЛЯРНОЙ ОСИ
Методом
сравнения решений краевой задачи на сегменте [R0, R2] полярной оси с точкой сопряжения r = R1 Î (R0, R2) для сепаратной системы из дифференциальных
уравнений Эйлера и Бесселя, построенного, с одной стороны, методом функций
Коши, а, с другой стороны – методом конечного гибридного интегрального
преобразования Эйлера-Бесселя просуммирована полипараметрическая семья
функциональных рядов со собственным элементам гибридного дифференциального оператора Эйлера-Бесселя.
Рассмотрим задачу построения ограниченного
на множестве I1 = {r
: r Î [R0,
R1) (R1, R2);
0 < R0 < R1 < R2 < ¥} решения сепаратной системы дифференциальных
уравнений Эйлера и Бесселя
, r Î (R0,
R1),
, r Î (R1,
R2) (1)
по краевым условиям
,
(2)
и условиям сопряжения
, j = 1, 2. (3)
В
равенствах (1) принимают участие дифференциальные операторы:
,
, 2aj+1 > 0,
– дифференциальный
оператор Эйлера [1],
– дифференциальный оператор Бесселя [2], n ³ a2 > –1/2.
Мы
предполагаем, что выполнены условия на коэффициенты: £ 0,
³ 0,
³ 0,
³ 0, |
| +
¹ 0,
¹ 0, c11c21 > 0,
, j = 1, 2.
Фундаментальную
систему решений для дифференциального уравнения Эйлера ( –
)v = 0 образуют
функции v1 =
и v2
=
[1]; фундаментальную
систему решений для дифференциального уравнения Бесселя (Bn, a – q2)v
= 0 образуют функции v1 = In, a(qr) и v2
= Kn, a(qr) [2].
Наличие
фундаментальной системы решений позволяет построить общее решение краевой
задачи (1) – (3) методом функций Коши [1, 3]:
u1(r)
= A1 + B1
+
,
u2(r)
= A2 + B2
+
, (4)
где Ej(r, r) – функции Коши [1, 3]:
,
, j = 1, 2. (5)
Введем
в рассмотрение функции:
,
,
, j = 1, 2,
.
Непосредственно
проверяется, что функция Коши
(6)
Определим функции
, j = 1, 2,
,
, m=1, 2,
.
Непосредственно
проверяется, что функция Коши
´
´ (7)
Обратимся
к формулам (4). Краевые условия (1) и условия сопряжения (3) для определения
величин Aj и Bj (j = 1, 2) дают неоднородную алгебраическую систему из четырех
уравнений:
,
,
,
. (8)
Здесь
принимает участие функция
G12 = –
–
.
Предположим,
что выполнено условие однозначной разрешимости краевой задачи (1) – (3): для (a) = (a1, a2) и
любого ненулевого вектора = {q1; q2} ¹
определитель
алгебраической системы (8)
–
–
¹ 0. (9)
Определим
главные решения краевой задачи (1) – (3):
1) порожденные краевым условием в точке r = R0
функции Грина
–
– ], (10)
;
2) порожденные краевым условием в точке r = R2
функции Грина
, (11)
–
– ];
3) порожденные неоднородностью условий сопряжения
функции Грина
,
,
(12)
,
;
4) порожденные неоднородностью системы (1) функции
влияния
(13)
, q = (q1, q2),
,
В
результате однозначной разрешимости алгебраической системы (8) в силу условия
(9) и подстановки вычисленных величин Aj,
Bj (j = 1, 2) в формулы (4) имеем единственное решение краевой задачи
(1) – (3):
uj(r) = +
+
+
+
+ +
, j = 1, 2. (14)
Построим
теперь решение краевой задачи (1) – (3) методом интегрального преобразования,
порожденного на множестве I1
гибридным дифференциальным оператором (ГДО)
Mn, (a) = q(r – R0)q(R1 – r) +
q(r – R1)q(R2 – r)
. (15)
Так как
ГДО самосопряженный и на множестве I1
не имеет особых точек, то его спектр действительный и дискретный [5]. Ему
отвечает дискретная вектор-функция.
Определение. Областью определения ГДО Mn, (a) назовем
множество G вектор-функций g(r)
= {g1(r); g2(r)} с такими свойствами: 1)
вектор-функция f(r) = {[g1(r)];
[g2(r)]} непрерывная на множестве I1; 2) функции gj(r) удовлетворяют условиям сопряжений
, j = 1, 2; (16)
3) функции gj(r) удовлетворяют краевым условиям
,
. (17)
Собственные
элементы (спектр и отвечающую ему спектральную функцию) ГДО Mn, (a) найдем
как ненулевое решение системы уравнений
, r Î (R0,
R1),
, r Î (R1,
R2) (18)
по однородным условиям сопряжения (16) и однородным
краевым условиям (17), считая, что функция Vn, (a)(r, b) = { Vn, (a); 1(r, b); Vn, (a); 2(r, b)} Î G; bj = bj(b) = ()1/2,
³ 0, j = 1,
2. Здесь b – спектральный параметр.
Фундаментальную
систему решений для дифференциального уравнения Эйлера ( + b2)v = 0 образуют функции v1 = r –acos(b lnr) и
v2 = r –asin(b lnr) [1]. Фундаментальную систему решений
для дифференциального уравнения Бесселя (Bn, a + b2)v = 0 образуют функции v1 = Jn, a(br) и v2 = Nn, a(br) [2].
Положим
Vn, (a); 1 (r, b) = A1cos(b1lnr) + B1
sin(b1lnr),
V n, (a); 2(r, b) = A2(b2r) + B2
(b2r). (19)
Условия
сопряжения (16) и краевые условия (17) для определения величин Aj, Bj (j = 1, 2)
дают однородную алгебраическую систему из четырех уравнений:
= 0,
= 0, j = 1, 2,
= 0. (20)
В
равенствах (20) принимают участие функции:
= –
,
= +
,
,
.
Алгебраическая
система (20) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее
определитель равен нулю [4]:
dn, (a)(b) º = 0. (21)
Здесь
принимают участие функции:
=
, j = 1, 2,
=
.
Корни bn трансцендентного уравнения (21), будучи собственными
числами ГДО Mn, (a),
составляют дискретный спектр [5]: действительные, простые, симметричные
относительно b = 0 и образуют на полуоси b > 0 монотонно возрастающую последовательность
с единственной предельной точкой b = ¥.
Подставим
b = bn в систему (20) и отбросим последнее уравнение в силу
линейной зависимости. Предположим, что A1 = A0,
B1 = –A0, где A0 подлежит
определению,
,
j =
1, 2. Тогда для определения A2, B2 получаем алгебраическую
систему:
, j = 1, 2.
Отсюда
при A0 = находим, что
A2 = –wn, (a); 2(bn), B2 = wn, (a); 1(bn),
wn, (a); j(bn) = , j = 1, 2.
Подставив
в равенства (19) вычисленные значения Aj, Bj имеем компоненты спектральной вектор-функции Vn, (a)(r, bn):
[
–
– ],
. (22)
Следовательно,
спектральному спектру отвечает спектральная функция
.
Согласно
с работой [5] имеем утверждения.
Теорема 1. Система собственных функций ГДО
Mn, (a) ортогональная на множестве I1 с весовой функцией
s(r) = q(r – R0)q(R1 – r)s1 + q(r – R1)q(R2 – r) s2
,
где , s2 = 1, полная и замкнутая. При этом квадрат нормы
собственной функции вычисляется по правилу:
º +
. (23)
Теорема 2. Любая функция g(r) Î G представляется абсолютно и равномерно
сходящимся на множестве I1 рядом Фурье по системе :
. (24)
Ряд Фурье (24) определяет прямое Hn, (a) и обратное конечное гибридное
интегральное преобразование, порожденное на множестве I1 ГДО Mn, (a):
, (25)
. (26)
Теорема 3. Если
вектор-функция g(r) Î G,
удовлетворяет условиям сопряжения (3) и краевым условиям (2), то имеет место
основное тождество интегрального преобразования ГДО Mn, (a):
–
+
+ +
,
, i = 1, 2. (27) Запишем систему (1) в матричной форме:
. (28)
Интегральный
оператор Hn, (a) согласно
правила (25) представим в виде операторной матрицы-строки:
. (29)
Применим
по правилу умножения матриц операторную матрицу-строку (29) к системе (28). В
силу тождества (27) получаем уравнение:
=
+
+ +
+ . (30)
Мы
предполагали, что max{;
} =
. В этому случае
= 0,
³ 0 (b1n = bn, b2n = (
)1/2). Если
бы max{
;
} =
, то мы имели бы:
³ 0,
= 0 (b1n = (
)1/2, b2n = bn). В
равенстве (30) вместо (
) было бы (
).
Из
уравнения (30) получаем функцию
+
+
+ , q2 = max{
;
}. (31)
Оператор
согласно правила (26)
как обратный к (29) представим в виде операторной матрицы-столбца:
. (32)
Применяя
по правилу умножения матриц операторную матрицу-столбец (32) к матрице-элементу
[], где функция
определена по формуле
(31), имеем единственное решение краевой задачи (1) – (3):
uj(r) = =
= +
+ + (33)
+ +
+ +
+ –
– , j = 1, 2.
Сравнивая
решения (14) и (33) в силу единственности, получаем формулы суммирования
полипараметрических функциональных рядов по собственным элементам ГДО Mn, (a):
, j, k = 1, 2, (34)
, j = 1, 2, (35)
, j = 1, 2, (36)
, j = 1, 2, (37)
, j = 1, 2. (38)
Функции
влияния определены по
формулам (13), функции Грина
– по формулам (10),
функции Грина
– по формулам (11) и
функции Грина
– по формулам (12).
Так как эти главные решения не зависят от неравенства (
) ³ 0 или от неравенства (
) ³ 0, то можно положить
> 0, суживая при
этом семью функциональных рядов.
Итогом
изложенного выше есть утверждение.
Теорема. Пусть компоненты gj(r) функции g(r) Î G
удовлетворяют краевым условиям (2) и условиям сопряжения (3). Если при этом
выполняется условие (9) однозначной разрешимости краевой задачи (1) – (3), то
имеют место формулы (34) – (38) суммирования полипараметрических функциональных
рядов по собственным элементам ГДО Mn, (a), определенного равенством (15).
ЛИТЕРАТУРА
1.
Степанов В.В. Курс
дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.
2.
Ленюк М.П. Исследование
основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев,
1982. – 62 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).
3.
Шилов Г.Е.
Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
4.
Курош А.Г. Курс высшей
алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.
5.
Комаров Г.М., Ленюк
М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені
диференціальними рівняннями другого порядку. – Чернівці: Прут, 2001. – 228 с.