Каллаур Н.А., Горник И.В.

Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина

ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРИ ИЗУЧЕНИИ НОВЫХ ПОНЯТИЙ

В организации учебно-воспитательного процесса важную роль должно играть решение задач. При обучении математике задачи являются и целью, и средством обучения и математического развития школьников. Планирование и организация уроков должны учитывать, что теоретический материал эффективнее осознается и усваивается преимущественно в процессе решения задач.

Указанному выше требованию в полной мере соответствует технология обучения математике на основе решения задач, при которой учащиеся усваивают новый теоретический материал в процессе решения специально подобранных задач и обобщении результатов их решения. Теоретический материал может представлять собой либо какое-нибудь утверждение, выражающее формулировку каких-то свойств математических объектов, либо доказательство новых теоретических положений, либо новый алгоритм решения задач определенного класса.

Особенно важной составной частью учебного материала являются понятия. В процессе познания понятия выступают основным средством формирования достигнутых человечеством научных знаний. Поэтому формирование у учеников обобщений и понятий считается одной из главных целей школьного преподавания.

Кроме того, правильный подход при изучении новых понятий способствует формированию диалектичекого мировоззрения школьников. Учащиеся должны получать правильные представления о сущности и происхождении понятий, понимать процесс образования изучаемых понятий. Эффективное усвоение понятий происходит при обучении математике на основе решения задач.

При формировании понятий надо учитывать закон апперцепции, который проявляется в том, что учащиеся воспринимают действительность через призму своих знаний. Поэтому учитель должен отталкиваться от знаний учащихся, исходя из этих знаний, подводить к новым знаниям. Подбирая задачи, формирующие представление о новом понятии, необходимо учитывать: представления, уже полученные учащимися о данном математическом объекте; умения и навыки применения знаний о математических объектах, на основе которых вводится новое понятие.

Для введения понятия может использоваться система задач-контр-примеров. В каждой такой задаче выполняются характеристические свойства данного понятия, кроме одного свойства. Благодаря такой системе учащиеся наглядно и прочно усваивают данное понятие, выделяя все его существенные признаки при решении задач контр-примеров и анализе их решений.

Чтобы учащиеся могли самостоятельно сформулировать определение понятия при обучении математике на основе решения задач, они должны в процессе решения задач установить логические связи между существенными признаками понятия.

Очень важно, чтобы учащиеся не только хорошо восприняли данное понятие, но и запомнили его на уроке. Психологи установили: чем сосредоточеннее внимание на объекте, чем активнее его восприятие и лучше понимание, тем быстрее и прочнее понятие об этом объекте запомнится. Одним из условий продуктивного запоминания учащимися учебного материала является полнота его восприятия.

При обучении математике на основе решения задач формирование понятия представляет собой активную деятельность, направленную на решение системы задач, полученных после переработки теоретического материала, при этом учитываются и используются связи нового понятия с ранее усвоенными понятиями. Учитывается также то, что важную роль в усвоении новых понятий играет умение применять знания о них на практике при решении новых задач. Задачи, приводящие к необходимости изучения новых понятий, после введения этих понятий решаются с применением новых знаний. На этапе закрепления решаются задачи, где знания о новом понятии применяются в специфических ситуациях.

Рассмотрим применение данной технологии на примере изучения темы «Числовая последовательность».

Переработав теоретический материал и сопоставив его с текущими знаниями учеников, получим следующую систему задач:

1. Ввести понятие последовательности.

2. Ввести понятие числовой последовательности с помощью задачи о трудовом договоре.

3. На основе задачи о трудовом договоре рассмотреть способы задания числовой последовательности.

1. Необходимо выяснить, что ученики понимают под словом ”последовательность“, какие ассоциации, образы возникают у них. (Элементы различной природы, непрерывно следующие один за другим).

Далее можно предложить привести примеры последовательностей, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни? (Список в классном журнале, алфавит, расписание уроков, календарь и т.д.).

Теперь предстоит выяснить, что же следует понимать под ”числовой последовательностью“?

2. Задача о трудовом договоре:

Между работником и работодателем должен быть заключен трудовой договор. Предлагаются три варианта оплаты труда:

(1) работнику в первый день работы выплачивается 4 доллара, во второй – 5 долларов, в третий – 6 долларов и так далее;

(2) по второму варианту работник получает в первый день работы 2 доллара, во второй – 4 доллара, в третий – 6 долларов, в четвертый – 8 долларов и так далее;

(3) по третьему варианту работодатель выплачивает в первый день 2 цента, а в каждый следующий день удваивает оплату за предыдущий день (т. е. во второй день – 4 цента, в третий – 8 центов, в четвертый – 16 центов и так далее).

На какие условия выгодно согласиться работнику, а на какие – работодателю?

Для того чтобы ответить на поставленные вопросы составим и заполним следующую «таблицу соответствий»:

дни		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
(1) руб.	a	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
	S	4	9	15	22	30	39	49	60	72	85	99	114	130	147
(2) руб.	a	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
	S	2	6	12	20	30	42	56	72	90	110	132	156	182	210
(3) коп.	a	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384
	S	2	6	14	30	62	126	254	510	1022	2046	4094	8190	16382	32766

Проанализируем полученное решение.

Каждому натуральному значению аргумента n по определенному правилу (виду оплаты) ставится в соответствие единственное действительное число a_n.

В этом случае говорят, что числа образуют последовательность а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, ..., а_n, …, которую можно рассматривать как функцию от натурального аргумента (т. е. функцию, определённую на множестве натуральных чисел).

Обобщение: пусть по некоторому закону каждому натуральному числу n ставится в соответствие определенное действительное число а_n. Тогда говорят, что задана числовая последовательность а₁, а₂, а₃, …, а_n, … или, короче, – числовая последовательность (а_n). Числа а₁, а₂, а₃, …, а_n, … называются членами последовательности, число а₁ – первым членом, число а₂ – вторым членом и т.д. Число а_n называется n-м членом последовательности.

Закон, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие определенное действительное число, есть не что иное, как числовая функция с областью определения N и множеством значений, содержащимся в R.

3. Полученные в процессе решения задачи о трудовом договоре результаты не дают возможности быстро ответить на некоторые дополнительные вопросы.

Попытаемся задать условия оплаты (1) – (3) в общем виде, аналитически, т. е. в виде буквенных выражений, алгебраических формул. Поможет ли это нам ответить на поставленные вопросы?

Ответ: (1) a(n)=n+3 (2) a(n)=2n; (3) a(n)=2ⁿ.

Мы получили зависимость между натуральными числами (порядковыми номерами проработанных работником дней) и действительными числами (ежедневно выплачиваемыми работнику денежными суммами по соответствующему варианту оплаты).

Возможны также следующие способы задания числовой последовательности: табличный, графический, с помощью рекуррентной формулы.

Для увеличения мотивации изучения данной темы школьникам можно предложить следующую историческую справку.

Итальянский купец Леонардо из Пизы (1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи, был самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

Последовательность Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … . Может кто-нибудь догадается, какой формулой задается данная последовательность? (a_n+1=a_n-1+a_n).

В расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи. Семечки упорядочены в два ряда спиралей, один из которых идет по часовой стрелке, другой против; и каково же число семян в каждом случае? 34 и 55.

Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скорее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобретательность, мастерство, время и труд аpхитектоpов пирамиды, использованные ими при возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий.

Ключ к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты.

Длина грани пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды - 484.4 фута (147.6 м). Длина грани, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф = 1,618. А если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (напpимеp, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения 1.61803398875... . Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) - это числа из последовательности Фибоначчи.

Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф = 1,618. Современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений.

Итак, можно сделать некоторые выводы.

1. Усвоение учащимися научных понятий требует активной переработки новой информации, точного понимания ее значения, соотнесения с уже известными понятиями, применения знаний о понятиях на практике. Эффективность усвоения новых понятий зависит от собственной активности учащихся, которая обеспечивается обучением через задачи.

2. В обучающей системе задач должна быть задача, мотивирующая введение определенного понятия. Обучение понятиям должно осуществляться путем постановки задач, для решения которых необходимо изучение нового понятия и использование его свойств.

3. Обучающая система задач должна вызывать направленные усилия учащихся по установлению существенных признаков понятий и логических связей между ними, выявлению новых свойств уже известных понятий. Справедливость полученных результатов проверяется решением специальных задач.

4. Польза введения нового понятия должна осознаваться учащимися при решении задач, которые предполагают использование знаний об изучаемом понятии.

5. Изучение понятий задачным методом способствует развитию творческих способностей школьников. Учащиеся учатся применять индукцию и дедукцию, обобщение и конкретизацию, классификацию и систематизацию, абстрагирование и аналогию,

6. Большую роль в управлении познавательной деятельностью учащихся при изучении понятий играют задачи-контрпримеры, позволяющие направлять мысль учащихся на выделение существенных признаков понятий, отделение этих признаков от несущественных, установление логических связей между существенными признаками, самостоятельную формулировку определения изучаемых понятий.

7. При переработке теоретического материала в обучающую систему задач для изучения понятий задачным методом должна учитываться последовательность психических процессов и психологические закономерности познания.

8. Обучение понятиям на основе решения задач обеспечивает интенсивную мыслительную деятельность, высокий уровень обобщающей и абстрагирующей деятельности, так как "... искусство оперировать понятиями не есть нечто врожденное и не дается вместе с обыденным, повседневным сознанием, а требует действительного мышления..." [1, с 14].

Литература

1. Гнеденко, Б. В. О математических способностях и их развитии/ Б. В. Гнеденко // Математика в школе. – 1982. – №1. – с. 31– 34.