Карачун В.В., Мельник В.М.
Національний технічний
університет України «КПІ»
ЗБУРЕНЕ ПЕРЕМІЩЕННЯ РН ПІД ДІЄЮ АКУСТИЧНОЇ ХВИЛІ. ЛІНІЙНЕ
НАБЛИЖЕННЯ
Спочатку
розглянемо найбільш простий випадок – коли дія хвилі тиску передається на
корпус РН тільки завдяки пружній в’язі.
Приймаючи
вимушений рух ракети за поступальний, рівняння його руху можна навести у
вигляді:
(1)
де – маса РН;
– її переміщення вздовж осі
.
Додавши до
рівняння (1) наступні кінематичні співвідношення
(2)
отримуємо задачу Коші для функції
. Розв’язок має вигляд –
(3)
де – жорсткість захвату
РН;
– збурюючий чинник,
заданий за величиною. В найпростішому варіанті обидві ці величини константи.
За умови (3),
рівняння шахти набувають структури:
(4)
Довжина РН визначена, тому змінні
набуватимуть наступних значень:
Вважаючи
товщину циліндра шахти настільки малою, що похідними по розв’язку можна
нехтувати, бігармонічний оператор набуває виду –
(5)
Система рівнянь (4), таким чином,
перетвориться –
(6)
Для циліндра шахти очевидно, що . Граничні умови для функцій
слід формулювати для
умови
та
:
(7)
За
неоднорідних граничних умов, розв’язання відшукувалося б у вигляді суми:
,
де – які-небудь гладкі
функції, що задовольняють заданим граничним умовам,
– розв’язки системи
(6) за однорідних граничних умов, але і з іншою правою частиною.
Таким чином,
розв’язок системи (6) виявляється двоточковим. Розкладемо праву частину другого
з рівнянь системи (6) в ряд Фур’є в прямокутнику по системі функцій
(8)
Тоді –
(9)
тут – довжина шахтного
відсіку.
Коефіцієнти
Фур’є функції обчислюються за
формулами:
Отже,
(10)
Зважаючи, що робимо висновок – коефіцієнти являються функціями часу
і параметра
(точки прикладення
пружної в’язі).
Розв’язок
системи (6) шукаємо у формі рядів Фур’є за функціями системи (8) в
прямокутнику:
(11)
Найближчою метою є знаходження
коефіцієнтів Фур’є та
, які залежать від часу
, координати
та інших параметрів.
Підстановка (9),
(10) та (11) в рівняння (6) дає:
(12)
або в такому вигляді –
(13)
Якщо , система (13) виглядає наступним чином:
(14)
За умови, що
(15)
має місце таке:
(16)
Якщо ж
(17)
тоді набуває довільних
значень. Це явище типове для двоточкових задач. З цих самих причин оберемо
величину
такою, щоб мала місце
нерівність
В свою чергу,
коефіцієнти знаходяться з системи
рівнянь без особливих ускладнень
(18)
незалежно від виконання умови
(15).
Повернемося
до системи рівнянь (13) і проаналізуємо найбільш загальний випадок явища. Її
визначник має вигляд:
(19)
Не виключено, що за певних
значень параметрів він обертається на нуль. Для двоточкових задач таке явище не
випадок. Щоб цього уникнути, оберемо таким, коли за
будь-яких значень
визначник системи
(13) не обертався би на нуль при всіляких
та
. За цих вимог з (13) одержуємо:
(20)
Тут величина обчислюється за
формулою (19), а
(коефіцієнти Фур’є
функції
) – співвідношенням (10).
Тепер можна
перейти до з’ясування закономірності руху РН в площині шпангоута
пускової шахти, тобто в напрямку осі
. З цією метою, спочатку слід визначити коефіцієнти Фур’є
. Формула (3) приводить до вирішення поставленої задачі:
(21)
Покладемо для
конкретності . В такому разі, рівняння (1), за начальних умов (2), надає:
(22)
З геометричних міркувань
походить, що , а
, тому після підстановки (22) в (21) одержимо:
(23)
Перший доданок тут описує
вимушений рух РН за абсолютно твердих стінок шахти, а у сукупності з другим
доданком – з урахуванням пружно-податливих властивостей відсіку.
В тому
випадку, коли
розв’язок задачі Коші (2) мав би
інший вигляд:
(24)
Натомість, примусове переміщення
РН під дією збурюючої хвилі тиску реалізовувалося б інакше:
(25)
де
– хвильове число.