Карачун В.В., Мельник В.М.

Національний технічний університет України «КПІ»

ЗБУРЕНЕ ПЕРЕМІЩЕННЯ РН ПІД ДІЄЮ АКУСТИЧНОЇ ХВИЛІ. ЛІНІЙНЕ НАБЛИЖЕННЯ

Спочатку розглянемо найбільш простий випадок – коли дія хвилі тиску передається на корпус РН тільки завдяки пружній в’язі.

Приймаючи вимушений рух ракети за поступальний, рівняння його руху можна навести у вигляді:

(1)

де – маса РН; – її переміщення вздовж осі .

Додавши до рівняння (1) наступні кінематичні співвідношення

(2)

отримуємо задачу Коші для функції . Розв’язок має вигляд –

(3)

де – жорсткість захвату РН; – збурюючий чинник, заданий за величиною. В найпростішому варіанті обидві ці величини константи.

За умови (3), рівняння шахти набувають структури:

(4)

Довжина РН визначена, тому змінні набуватимуть наступних значень:

Вважаючи товщину циліндра шахти настільки малою, що похідними по розв’язку можна нехтувати, бігармонічний оператор набуває виду –

(5)

Система рівнянь (4), таким чином, перетвориться –

(6)

Для циліндра шахти очевидно, що . Граничні умови для функцій слід формулювати для умови та :

(7)

За неоднорідних граничних умов, розв’язання відшукувалося б у вигляді суми:

,

де – які-небудь гладкі функції, що задовольняють заданим граничним умовам, – розв’язки системи (6) за однорідних граничних умов, але і з іншою правою частиною.

Таким чином, розв’язок системи (6) виявляється двоточковим. Розкладемо праву частину другого з рівнянь системи (6) в ряд Фур’є в прямокутнику по системі функцій

(8)

Тоді –

(9)

тут – довжина шахтного відсіку.

Коефіцієнти Фур’є функції обчислюються за формулами:

Отже,

(10)

Зважаючи, що робимо висновок – коефіцієнти являються функціями часу і параметра (точки прикладення пружної в’язі).

Розв’язок системи (6) шукаємо у формі рядів Фур’є за функціями системи (8) в прямокутнику:

(11)

Найближчою метою є знаходження коефіцієнтів Фур’є та , які залежать від часу , координати та інших параметрів.

Підстановка (9), (10) та (11) в рівняння (6) дає:

(12)

або в такому вигляді –

(13)

Якщо , система (13) виглядає наступним чином:

(14)

За умови, що

(15)

має місце таке:

(16)

Якщо ж

(17)

тоді набуває довільних значень. Це явище типове для двоточкових задач. З цих самих причин оберемо величину такою, щоб мала місце нерівність

В свою чергу, коефіцієнти знаходяться з системи рівнянь без особливих ускладнень

(18)

незалежно від виконання умови (15).

Повернемося до системи рівнянь (13) і проаналізуємо найбільш загальний випадок явища. Її визначник має вигляд:

(19)

Не виключено, що за певних значень параметрів він обертається на нуль. Для двоточкових задач таке явище не випадок. Щоб цього уникнути, оберемо таким, коли за будь-яких значень визначник системи (13) не обертався би на нуль при всіляких та . За цих вимог з (13) одержуємо:

(20)

Тут величина обчислюється за формулою (19), а (коефіцієнти Фур’є функції ) – співвідношенням (10).

Тепер можна перейти до з’ясування закономірності руху РН в площині шпангоута пускової шахти, тобто в напрямку осі . З цією метою, спочатку слід визначити коефіцієнти Фур’є . Формула (3) приводить до вирішення поставленої задачі:

(21)

Покладемо для конкретності . В такому разі, рівняння (1), за начальних умов (2), надає:

(22)

З геометричних міркувань походить, що , а , тому після підстановки (22) в (21) одержимо:

(23)

Перший доданок тут описує вимушений рух РН за абсолютно твердих стінок шахти, а у сукупності з другим доданком – з урахуванням пружно-податливих властивостей відсіку.

В тому випадку, коли

розв’язок задачі Коші (2) мав би інший вигляд:

(24)

Натомість, примусове переміщення РН під дією збурюючої хвилі тиску реалізовувалося б інакше:

(25)

де – хвильове число.