К.т.н. Рафиков Г.Ш., Звягина А.В.

Донецкий национальный технический университет, Украина

Робастное управление системой двух манипуляционных роботов типа PUMA-560 при выполнении сборочных технологических операций.

Общая постановка проблемы. -теория управления широко применяется в задачах систем управления. В частности, в задачах построения управления, при котором сохранялись бы выходные переменные системы и сигналы ошибки в заданных допустимых пределах несмотря на наличие неопределённостей в контуре управления. Неопределённости могут принимать любые формы, однако наиболее существенными являются шумы, нелинейности, и неточности в знании передаточной функции объекта управления. Эти неопределенности являются существенной проблемой при управлении манипуляционными роботами типа PUMA-560, поэтому применение робастного регулятора это наиболее оптимальное решение проблемы неопределенностей [1,2].

Постановка задачи синтеза робастного регулятора. В данной работе рассматриваются два манипуляционных робота типа PUMA-560, которые, при выполнении сборочных операций, подвержены динамическим взаимовлияниям между различными степенями подвижности. Цель данной работы – оптимизация управления системой двух роботов, т.е. одним регулятором обеспечить устойчивость замкнутой системы не только для номинального (без учёта ошибок модели) объекта, но и для случая "возмущенного" объекта (с учётом неопределённости модели и помех действующих на объект управления).

Уравнения динамики для системы двух манипуляционных роботов в общем виде имеют вид [3]:                                     

 ,                                 (1)

где: i=1,2; *- вектор переменных степеней подвижности i; * - вектор измеряемых сил и моментов i; - вектор моментов (сил) в степенях подвижности робота; J - матрица Якоби робота i; Di - матрица коэффициентов, устанавливающих связь действующих в сочленениях моментов с ускорениями обобщенных координат; Ei - матрица коэффициентов, устанавливающих связь действующих в сочленениях сил и моментов со скоростями изменения обобщённых координат.

В результате линеаризации динамической модели [4] системы двух роботов-манипуляторов с декомпозицией выходных переменных и развязкой входов/выходов на основе диффеоморфного преобразования координат и нелинейной обратной связи по состоянию была получена математическая модель вида [5,6]:

                                          ,                                            (2)

где:   - вектор состояния в преобразованной системе координат размерности (12x1); А – блочно-диагональная матрица размерности (12x12), характеризующая декомпозицию состояний шарниров преобразованной модели; В – блочно-диагональная матрица размерности (12x6), отражающая декомпозицию управляющих воздействий на шарниры преобразованной модели робота; С – блочно-диагональная матрица размерности (6x12), определяющая декомпозицию выходных координат шарниров преобразованной модели.

Синтез субоптимального регулятора . Одним из наиболее простых подходов к решению - оптимизации является  «2-Рикатти подход» [7]. Метод «2-Рикатти подход» сочетает в себе классическую теорию автоматического управления и метод пространства состояний. Кроме того данный подход позволяет разработчикам в процессе проектирования задавать требуемые характеристики качества и робастной устойчивости замкнутой системы.

Этот подход синтеза - субоптимального управления похож на синтез - оптимального управления. Применяя этот подход был сформулирован принцип разделения в - теории управления, аналогичный принципу разделения в ЛКГ (линейно квадратичной гаусовской) –теории и доказано, что при определённых условиях - теория является предельным случаем - теории управления [8].

Степень субоптимального регулятора найденного по - норме не превышает n – степень системы объекта управления. В рамках «2-Рикатти подхода» искомый оптимальный регулятор в форме наблюдателя определяется на основе решения двух многомерных уравнений Лурье-Рикатти для фильтрации (восстановление состояния) и оптимального управления в смысле минимума - нормы замкнутой системы. Регуляторы, синтезированные с помощью этого критерия оптимальности, обеспечивают устойчивость замкнутой системы и минимальную чувствительность к возмущениям [9].

Дополним уравнения математической модели вектором внешних неизмеряемых возмущений и вектором помех измерения получим следующую систему:

                                                                   (3)

      Вектор управляемых выходов с учётом неизмеряемых помех может быть записан в виде:                           

 ,                                           (4)

где:                                       .

Рассмотрим вектор контролируемых выходов :

.                                 (5)

Объединяя  (3) - (5) получим систему уравнений, которая описывает систему, что управляется:

                                 (6)

где Iu – единичная матрица (3х3).

Рассмотрим расширенный вектор входных возмущений:

                                                 (7)

Тогда (6) примет вид:

                                                             (8)

Система уравнений, которая описывает стандартный объект в пространстве состояний для расширенных векторов  и  имеет вид:

                        (9)

Синтезированный регулятор по  - оптимизации обеспечивает подавление воздействия внешних возмущений на вход системы до заранее предписанного уровня. Энергия ошибки, которая проходит на выход, рассчитывается - нормой матричной передаточной функции замкнутой системы от внешних возмущений к управляемому выходу. Метод синтеза основан на решении модифицированных уравнений Рикатти называемый «2-Рикатти подходом».

Объект управления описывается системой уравнений (9), при этом должны выполнятся следующие условия:

1.     (A,B1,C1) матрицы, которые стабилизируются и детектируются [7];

2.     (A,B2,C2) матрицы, которые стабилизируются и детектируются [7];

3.    ;

4.   

Для объекта управления при выполнении всех 4 условий синтезируется регулятор, который обеспечивает выполнение условия:

                                  ,                                                  (10)

где W – матричная передаточная функция, которая характеризует чувствительность управляемых и управляющих переменных замкнутой системы к внешним возмущениям,  - уровень нечувствительности к изменению параметров динамической системы, скалярная величина.

Синтезированный регулятор имеет структуру фильтра Калмана – Бьюси:

                 (11)

Вычисление матриц обратной связи регулятора и наблюдателя соответственно К и L, а так же вектора , который может трактоваться как оценка наиболее неблагоприятного воздействия, основано на решении матричных квадратичных уравнениях Лурье-Риккати.

Синтез регулятора проведён по следующему алгоритму:

1.                Задать некоторое значение  критерия.

2.                Найти стабилизирующее решение  уравнения:

,                   (12)

где:               .

 Если решение не существует, перейти к пункту п.8.

3.                Найти стабилизирующее решение  уравнения:

                                      ,                (13)

где:                  

Если решение не существует, перейти к пункту п. 8.

4.                Вычислить матрицу PD и найти её максимальное сингулярное число. Если оно больше , то перейти к п. 8.

5.                Чтобы улучшить критерий заменим  на меньшую величину и перейдём к п. 2.

6.                Вычислить матрицы:

                                               (14)

7.                Определить  по формуле:

                          .                                         (15)

8.                Зафиксировать, что данное значение критерия недостижимо и вернуться к п. 2 заменив  на большую величину.

Алгоритм организован по схеме последовательного поиска все более малого значения критерия и стабилизирующей обратной связи, обеспечивающей его достижение.

Для построения субоптимального регулятора применяется итерационная процедура по  . На каждом шаге решается субоптимальная задача, то есть определяется регулятор для которого выполняется условие (5.1) затем величина   уменьшается; субоптимальная задача решается до тех пор пока существуют неотрицательно определённые решения алгебраических уравнений Лурье-Риккати и выполняется условие на ограничение спектрального радиуса. Полученное в результате итерационной процедуры минимальное значение   близко к   с заданной степенью точности, а также решение P и D используется для синтеза робастного   – субоптимального регулятора.

Матрицы регулятора и наблюдателя равны:

             (16)

                                                 (17)

Матрица оценки наиболее неблагоприятного воздействия:

                       (18)

Выводы:

1.                  Получена линеаризованная математическая модель объекта управления в пространстве состояния.

2.                  Произведен синтез  - субоптимального регулятора в условиях наличия неопределённостей в контуре управления.

3.                  Решена задача минимизации влияния внешних возмущений на отклонение контролируемых выходов от заданных значений.

4.                  Было проведено моделирование системы с диффеометрическим регулятором и нелинейной обратной связью. Моделирование показало, что регулятор отфильтровывает помехи, поступающие в объект и в канал измерения и обеспечивает устойчивость системы. Для количественной оценки были вычислены среднеквадратические отклонения (СКО) отфильтрованных сигналов от реальных. СКО=0.2209. Точность позиционирования не превышает заданной на всем интервале (меньше 0,5 мм).

Современные методы робастного управления не требуют долгого анализа системы и синтеза в частотной области, все расчёты происходят с использованием метода пространства состояния, что очень облегчает синтез регулятора. Степень полученного  регулятора не превышает степени самой системы и по сути состоит из двух частей из наблюдателя и регулятора, которые обеспечивают наименьшее отклонение отфильтрованных значений от реальных при наибольшем шуме.

Литература:

1.      Курдюков А.П. Основы робастного управления. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1995.

2.      Конструирование робастных систем управления с использованием методов  – оптимизации. Обзор / Под ред. Е.А. Федосова. – М.: ГосНИИИАС, 1989.

3.      Семёнов В.И Дифференциально-геометрические методы исследование управляемых динамических систем.// Кибернетика и вычислительная техника, 1978г. вып. 39.

4.      Брокетт Р.У. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления. Математические методы в теории систем. М.: Мир, 1979.

5.      Tarn T.J., Bejezy A.K., Isidori A., Chen Y.L. Nonlinear feedback in Robot Arms. Proc.of 23 rd IEEE Conf. of Decision and Control. Las Vegas, 1984.

6.      Tarn T.J., Bejezy A.K., Yan X. Third Order Dynamic Equations and Nonlinear Feedback for PUMA-560 Robot Arms. St. Louis, 1985.

7.      Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х томах. Т.3: Методы современной теории автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 748с.

8.      Александров А.Г. Честнов В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности I. Применеие процедур LQ – оптимизации // Автоматика и телемеханика. 1998. - №7. – с.83-95.

9.      Барабанов А.Е., Первозванский А.А. Оптимизация по равномерно частотным показателям ( - теория) // Автоматика и телемеханика. №9. 1992.