Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения
Ву Н. Ш. Т., к. ф.-м. н. Прядиев В. Л.
Белгородский
государственный национальный исследовательский университет
Некоторые классы естественных условий
в задаче Штурма-Лиувилля на графе
Введение.
Известно (см., например,
[1]), что функция , , минимизирующая функционал
на множестве , удовлетворяет не только дифференциальному уравнению , где , но и краевым условиям , . Эти краевые условия называются естественными. Знание
вида естественных условий позволяет получать оценки на собственные значения
соответствующей задачи Штурма-Лиувилля, что в случае функционала более общего
вида, нежели , может оказаться полезным в приложениях.
В настоящей статье
рассматривается функционал
, (1)
где – геометрический
граф, и – некоторые
положительные функции, а и – квадратичные формы
относительно значений и в вершинах . Изучается вопрос о виде естественных условий, которым
должна удовлетворять функция , минимизирующая функционал . При этом рассматриваются два класса функций, на которых
минимизируется : класс функций, непрерывных на , и класс функций, допускающих разрывы в вершинах .
1. Общие понятия и факты.
Начнём с понятия геометрического графа. Под
геометрическим графом мы понимаем связное множество , представимое в виде , где , , – прямолинейные отрезки. При этом будем предполагать, что
при , , где через обозначено множество
концевых точек отрезка , .
Пусть ; точки из называются вершинами
графа . Зафиксируем множество такое, что связно. Точки из называются граничными
вершинами , а точки из называются
внутренними вершинами . Для любой вершины через будем обозначать |
. Ниже, для простоты изложения, будем предполагать всегда,
что к каждой граничной вершине примыкает ровно одно ребро, то есть .
Всюду далее
предполагается, что каждое из рёбер графа как-то ориентировано, то есть при
каждом для каждой из двух
точек множества указано какая из них
первая (начало отрезка ), а какая – последняя (конец ). Договоримся всюду далее начало обозначать через , а конец – через .
Будем считать всегда,
что в задана евклидова
топология, а на – топология,
индуцированная из . Пусть – множество всех функций,
непрерывных на , а – множество всех
функций , определённых и непрерывных на и имеющих конечные
пределы
для любой и любого .
Производная функции в точке понимается нами так
же, как и в [2], и так же, как и в [2], через для и мы обозначаем
производную функции в точке вдоль ребра в направлении от . Пусть
и .
В дальнейшем мы будем
рассматривать задачу о минимизации функционала (1) только на множествах
и
.
Пусть – функционал,
определённый на формулой
(2)
где
,
,
а функция минимизирует на . Здесь и положительны, причём , на , а , , , – некоторые
вещественные числа. Если для существует ненулевой
линейный относительно и () функционал такой, что , то условие будем называть естественным
(для пары (, )) в точке .
Аналогично понимается
естественное условие в точке для пары для
где
и – те же, что и в (2),
, , , – некоторые
вещественные числа.
2. Формулировка и доказательство основного
результата.
Теорема 1. Пусть
где . Тогда есть решение
уравнения
(3)
и удовлетворяет
естественным условиям
(4)
и условиям
(5)
причём набор (по ) условий (4) и набор тех из условий (5), для которых , исчерпывают все линейные независимые естественные условия.
Доказательство. В силу определения имеем
(6)
и
(7)
для и достаточно малых . Из (7) в силу (6) следует, что
(8)
для всех ; здесь
Интегрируя в (8) по
частям получим, что
(9)
Пусть
Тогда для любого равенство (9) примет
вид
Отсюда по лемме Лагранжа
получим, что
на .
Аналогично мы получим,
что на , на , ..., на . Таким образом, есть решение
уравнения (3).
С учётом этого (9)
принимает вид
то есть
(10)
Зафиксируем и рассмотрим
множество
{ | }
При равенство (10)
принимает вид
(11)
Ввиду произвольности естественность
условий (4) доказана.
Подставляя теперь (11) в
(10), получим
(12)
Фиксируя и , рассмотрим множество функций таких, что и , если или . Для равенство (12)
принимает вид
Теорема доказана.
Замечание. Если , то (5) принимает вид .
Теорема 2. Пусть
где . Тогда есть решение
уравнения
(13)
и удовлетворяет естественным
условиям
(14)
и условиям
(15)
причём набор условий (14)
и набор тех из условий (15), для которых , исчерпывают все линейные независимые естественные условия.
Доказательство. В силу определения имеем
(16)
и
(17)
для и достаточно малых . Из (17) в силу (16) следует, что
(18)
для всех ; здесь
Интегрируя в (18) по
частям получим, что
(19)
Пусть
| }.
Тогда для любого равенство (19) примет
вид
Отсюда по лемме Лагранжа
получим, что
на .
Аналогично мы получим,
что на , на , ..., на . Таким образом, есть решение уравнения
(13).
С учётом этого (19)
принимает вид
(20)
Зафиксируем и и рассмотрим
множество функций таких, что и , если или , а также для всех и . При равенство (20)
принимает вид
(21)
Ввиду произвольности естественность
условий (14) доказана.
Подставляя теперь (21) в
(20), получим
(22)
Фиксируя и , рассмотрим множество функций таких, что и , если или . Для равенство (22)
принимает вид
Теорема доказана.
Литература:
1. Гулд
С.
Вариационные методы в задачах о собственных значениях. - М.: Мир, 1966. - 328
с.
2. Покорный
Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные
уравнения на геометрических графах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 272с.