Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения
Ву Н. Ш. Т., к. ф.-м. н. Прядиев В. Л.
Белгородский
государственный национальный исследовательский университет
Некоторые классы естественных условий
в задаче Штурма-Лиувилля на графе
Введение.
Известно (см., например,
[1]), что функция ,
, минимизирующая функционал
на множестве , удовлетворяет не только дифференциальному уравнению
, где
, но и краевым условиям
,
. Эти краевые условия называются естественными. Знание
вида естественных условий позволяет получать оценки на собственные значения
соответствующей задачи Штурма-Лиувилля, что в случае функционала более общего
вида, нежели
, может оказаться полезным в приложениях.
В настоящей статье
рассматривается функционал
, (1)
где – геометрический
граф,
и
– некоторые
положительные функции, а
и
– квадратичные формы
относительно значений
и
в вершинах
. Изучается вопрос о виде естественных условий, которым
должна удовлетворять функция
, минимизирующая функционал
. При этом рассматриваются два класса функций, на которых
минимизируется
: класс функций, непрерывных на
, и класс функций, допускающих разрывы в вершинах
.
1. Общие понятия и факты.
Начнём с понятия геометрического графа. Под
геометрическим графом мы понимаем связное множество , представимое в виде
, где
,
, – прямолинейные отрезки. При этом будем предполагать, что
при
,
, где через
обозначено множество
концевых точек отрезка
,
.
Пусть ; точки из
называются вершинами
графа
. Зафиксируем множество
такое, что
связно. Точки из
называются граничными
вершинами
, а точки из
называются
внутренними вершинами
. Для любой вершины
через
будем обозначать
|
. Ниже, для простоты изложения, будем предполагать всегда,
что к каждой граничной вершине примыкает ровно одно ребро, то есть
.
Всюду далее
предполагается, что каждое из рёбер графа как-то ориентировано, то есть при
каждом для каждой из двух
точек множества
указано какая из них
первая (начало отрезка
), а какая – последняя (конец
). Договоримся всюду далее начало
обозначать через
, а конец – через
.
Будем считать всегда,
что в задана евклидова
топология, а на
– топология,
индуцированная из
. Пусть
– множество всех функций,
непрерывных на
, а
– множество всех
функций
, определённых и непрерывных на
и имеющих конечные
пределы
для любой и любого
.
Производная функции
в точке
понимается нами так
же, как и в [2], и так же, как и в [2], через
для
и
мы обозначаем
производную функции
в точке
вдоль ребра
в направлении от
. Пусть
и
.
В дальнейшем мы будем
рассматривать задачу о минимизации функционала (1) только на множествах
и
.
Пусть – функционал,
определённый на
формулой
(2)
где
,
,
а функция минимизирует
на
. Здесь
и
положительны, причём
,
на
, а
,
,
,
– некоторые
вещественные числа. Если для
существует ненулевой
линейный относительно
и
(
) функционал
такой, что
, то условие
будем называть естественным
(для пары (
,
)) в точке
.
Аналогично понимается
естественное условие в точке для пары
для
где
и
– те же, что и в (2),
,
,
,
– некоторые
вещественные числа.
2. Формулировка и доказательство основного
результата.
Теорема 1. Пусть
где . Тогда
есть решение
уравнения
(3)
и удовлетворяет
естественным условиям
(4)
и условиям
(5)
причём набор (по ) условий (4) и набор тех из условий (5), для которых
, исчерпывают все линейные независимые естественные условия.
Доказательство. В силу определения имеем
(6)
и
(7)
для и достаточно малых
. Из (7) в силу (6) следует, что
(8)
для всех ; здесь
Интегрируя в (8) по
частям получим, что
(9)
Пусть
Тогда для любого равенство (9) примет
вид
Отсюда по лемме Лагранжа
получим, что
на
.
Аналогично мы получим,
что на
, на
, ..., на
. Таким образом,
есть решение
уравнения (3).
С учётом этого (9)
принимает вид
то есть
(10)
Зафиксируем и рассмотрим
множество
{
|
}
При равенство (10)
принимает вид
(11)
Ввиду произвольности естественность
условий (4) доказана.
Подставляя теперь (11) в
(10), получим
(12)
Фиксируя и
, рассмотрим множество
функций
таких, что
и
, если
или
. Для
равенство (12)
принимает вид
Теорема доказана.
Замечание. Если , то (5) принимает вид
.
Теорема 2. Пусть
где . Тогда
есть решение
уравнения
(13)
и удовлетворяет естественным
условиям
(14)
и условиям
(15)
причём набор условий (14)
и набор тех из условий (15), для которых , исчерпывают все линейные независимые естественные условия.
Доказательство. В силу определения имеем
(16)
и
(17)
для и достаточно малых
. Из (17) в силу (16) следует, что
(18)
для всех ; здесь
Интегрируя в (18) по
частям получим, что
(19)
Пусть
|
}.
Тогда для любого равенство (19) примет
вид
Отсюда по лемме Лагранжа
получим, что
на
.
Аналогично мы получим,
что на
, на
, ..., на
. Таким образом,
есть решение уравнения
(13).
С учётом этого (19)
принимает вид
(20)
Зафиксируем и
и рассмотрим
множество
функций
таких, что
и
, если
или
, а также
для всех
и
. При
равенство (20)
принимает вид
(21)
Ввиду произвольности естественность
условий (14) доказана.
Подставляя теперь (21) в
(20), получим
(22)
Фиксируя и
, рассмотрим множество
функций
таких, что
и
, если
или
. Для
равенство (22)
принимает вид
Теорема доказана.
Литература:
1. Гулд
С.
Вариационные методы в задачах о собственных значениях. - М.: Мир, 1966. - 328
с.
2. Покорный
Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные
уравнения на геометрических графах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 272с.