Лебедев В.А.
Институт теплофизики
им. С.С. Кутателадзе СО РАН, Новосибирск, Россия
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И РАДИУСЫ СФЕРИЧЕСКИХ
ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В процессе анализа излучающих систем с диатермической
средой рассматриваются геометрические величины, имеющие прозрачный физический
смысл. Он следует из основных понятий теории теплообмена излучением, где
используются простейшие теоретико-множественные представления.
В соответствии с этим поток энергии излучения,
проходящий в единицу времени через заданную поверхность, можно представить
мерой несчетного множества векторов, пересекающих эту поверхность и выходящих в
поле излучения [1,2]. Рассматривая
частный случай лучистого теплообмена между двумя изотермическими абсолютно
черными телами i и k с
поверхностями 
и 
, выделим элементарные площадки 
и 
с расстояниями между
ними 
и принадлежащие соответственно поверхностям 
и 
. Элементарная площадка 
излучает в пределах
полусферы интегральный по спектру поток энергии 
. Отношение потока излучения 
, падающего на 
с площади 
, к полному потоку 
, излучаемому 
в пределах полусферы,
называется элементарным угловым коэффициентом излучения (УКИ) и выражается через
геометрические параметры следующим образом:
(1)
где 
– угол направления
луча от 
к 
, а 
– угол его падения на
при соответствующих
нормалях 
. Это определение можно интерпретировать как меру вероятности
попадания на элемент поверхности 
«частиц», вылетающих
с поверхности 
, при равной вероятности траекторий полета [1]. При этом
выражения вида 
=
являются геометрическими инвариантами.
С целью
вычисления потока излучения, исходящего с 
и попадающего на всю поверхность 
, вводится понятие локального УКИ
(2)
Энергия, которой обмениваются поверхности i и k ,
определяются интегрированием 
по 
, а полученное отношение энергии 
, попавшей с i на k, ко всей излученной с поверхности i в пределах
полусферы энергии 
называется
интегральным УКИ:
(3)
Введя координаты точек О и А соответственно (
) и (
), можно записать проекции r
на нормали N
и N
в виде
(4)
(5)
где l
, m
, n
– направляющие
косинусы нормалей N
, а θ
– углы между нормалями N
и лучом r
. Из (4) и (5)
следует значение косинусов θ
:
(4а)
(5а)
и значения проекций F
на плоскости х = 0, у = 0, z = 0:
(6)
Если задать вектор r
, перпендикулярный
лучу r
, то значения
проекций r
на плоскости х = 0, у = 0, z = 0 через координаты вектора r
выразятся следующим
образом:
(7)
т.к. (y
- y
)
= - (z
- z 
) и т.д. Таким
образом, вектор r
является ротором
вектора r
(r
= rot r
). Для r
и r
справедливо при
этом выражение
(8)
Рассмотрим теперь выражение (2) для локального УКИ,
которое с помощью (4а, 5а) можно записать так:
(9)
при
(10)
Для упрощения последующих выкладок без ограничения
общности получаемых результатов воспользуемся следующим приемом.
Построим в
пространстве вокруг площадки 
полусферу с
основанием, лежащим в плоскости площадки 
, и с радиусом r ‹ r
из центра О, и спроектируем на нее поверхность A с помощью
лучей, исходящих с элементарной площадки 
как из центра О.
В этом случае при неравенстве площадей А и 
(проекции поверхности
А на построенную полусферу) УКИ с
площадки 
на поверхность А и на поверхность 
будут равны 
и инвариантны относительно
радиуса r, т.к. все лучи, попавшие с 
на А, пройдут через 
, а все, прошедшие сквозь 
, попадут на А.
Исходя из очевидной справедливости этого, рассмотрим теперь УКИ 
, где все расстояния между излучающей площадкой 
и точками облучаемой
поверхности 
равны r, а 
на всей поверхности 
, т.е.
(11)
где 
– площадь проекции
поверхности А на сферу радиуса r.
При 
= 0, 
= 0, 
= 0 формулу (11) можно упростить:
(12)
Формулы
(11) и (12) для УКИ можно представить в форме, исключающей применение
поверхностных интегралов. Для этого представим подынтегральные выражения в этих
формулах в дифференциальном виде. Тогда для (11) имеем
где 
(13а)
а для (12)
(13б)
Видно, что выражения (13а,б) описывают вектор-функцию 
(XYZ) с составляющими
(14)
для которой справедливо
где
(15)
Числители здесь представляют собой
проекции луча 
(XYZ) на
плоскости х = 0, у = 0, z = 0 соответственно.
Отсюда вытекает, что выражения для УКИ 
можно записать, воспользовавшись
теоремой Стокса, через векторы, перпендикулярные лучу r(х,у,z) и описанные в его координатах:
(16)
где 
– интеграл по
контуру, ограничивающему площадь 
на поверхности сферы r.
Итак, получена запись искомого УКИ:
(17)
или при 
(18)
В случае, когда излучающая поверхность 
– сфера, имеем соs
= 1, соs
= –1 и можно записать
(19)
т.е. под интегралом в этом случае в (19) стоит
дифференциал функции
f = 1 / r (20а)
или 
(20б)
где 
– контур поверхности 
.
Поскольку 
, то (19) можно записать в виде
(20в)
и УКИ 
, записанный выше (19, 20б) через (1 / r), записан
теперь (20в) с помощью дифференциала функции
(21)
Если рассматривать две конечные поверхности 
и 
, то интегральный УКИ записывается в виде (3) с учетом (2) и
(11):
(22)
где 
, а отсюда следует
.
Таким образом, один и тот же УКИ 
(22) выражается как с
помощью величины 1 / r при параметрах с составляющими (ХУZ) под поверхностным интегралом 
, так и с помощью ln r через параметры вектора с составляющими (LMN) под
контурным интегралом 
.
Еще в работе [3] было подчеркнуто, что
формулы для УКИ (или освещенности) имеют большое формальное сходство с формулами взаимодействия двух
замкнутых постоянных токов или двойных магнитных слоев («магнитных листков»).
Разница лишь в том, что в электро- и магнитостатике используется выражение 1 / r, а в
излучении ln r. Выясним
причины такого сходства.
Напомним, что функция
Φ = 1 / r – это эквипотенциальная поверхность векторного поля с
точечными источниками потока, а функция Φ = ln r – эквипотенциальная поверхность для нитевидного
(контурного) источника потока. При рассмотрении двойного слоя [4] (поверхности,
покрытой диполями) показано, что потенциал одного диполя
(23)
убывает как 
и зависит от угла между радиусом вектором r и направлением момента диполя р. Поле диполя не
сферическое, а осесимметричное (сферы, касающиеся друг друга в центре диполя).
Запишем элементарный УКИ (1) для
излучающей элементарной площадки О в
центре облучаемой сферы (
):
. (24)
Очевидное сходство формул (23) и (24),
которые являются основными исходными выражениями для описания взаимодействия
поверхностей в электростатике и в теории излучения, определяют закономерность,
а не формальность их сходства в
интегральной форме. При этом, как показано, в излучении могут использоваться
под интегралом и функции 1 / r, а не только ln r (обе содержат радиусы различных эквипотенциальных
поверхностей), в зависимости от способа интегрирования – по поверхностям или по
контурам рассматриваемых площадей. В исследовании законов освещенности и в
электростатике используются одни и те же закономерности и свойства векторного поля,
описывающие различные физические явления в трехмерном пространстве.
Этот факт мог быть замечен ранее: либо В.А.Фоком,
автором работы [3] , где впервые был исследован вопрос об освещенности с
привлечением теоремы Стокса, либо автором работы [5] , повторившим через 40 лет
работу [3] со странным замечанием, что ему известно лишь существование работы
[3] , но не ее содержание. В обеих работах [3,5] был использован один и тот
же искусственный прием: формулы (15) не были выведены, а составлялись подбором необходимых параметров так,
чтобы они удовлетворяли теореме Стокса. Строгий же вывод выражений (15),
представленный здесь, и вытекающие из него последующие рассуждения приводят к
выявлению изложенных закономерностей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рубцов Н.А. Теплообмен излучением. Новосибирск.
1977. 86с.
2. Рубцов Н.А., Лебедев В.А. Геометрические инварианты
излучения. Новосибирск. 1989. 244с.
3. Фок В.А. Освещенность от поверхностей произвольной
формы. Труды ГОИ, т.3, в.28. Л. с.1-11.
4. Иос Г. Курс теоретической физики. Т.1. ГУПИ, М.
1963. 580с.
5. Спэрроу Е.М. Новый упрощенный расчет угловых
коэффициентов излучения. Теплопередача,
т.85, сер. С, №2.1963. с.3-12.