МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ОПТИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ

НА ОСНОВЕ ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ

А.Д.Пимкин, О.А.Голованов, А.М.Данилов, И.А.Гарькина

Рассматривается электродинамический подход к математическому моделированию оптических фильтров на основе фотонных кристаллов с учетом рассеяния электромагнитных волн на неоднородностях диаметров диэлектрических наносфер опаловых матриц. К перспективным структурам класса 3D-фотонных кристаллов относятся опаловые матрицы из кубических упаковок наносфер двуокиси кремния.

При моделировании область опаловой матрицы (фотонный кристалл) расчленяется условными границами на автономные блоки в виде однотипных прямоугольных параллелепипедов с включениями в виде фрагментов диэлектрических наносфер и виртуальными каналами Флоке на гранях (рис.1). Нетрудно видеть при построении математической модели фотонного кристалла можно использовать только один автономный блок – типа «а» или типа «б».

Рис.1. Декомпозиция на автономные блоки опаловой матрицы фотонного кристалла

Для автономного блока формулируется краевая задача дифракции для определения матрицы проводимости. В области автономного блока электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла. Используя известное из векторного анализа тождество и формулу Остроградского-Гаусса, из краевой задачи дифракции получим интегральную проекционную форму. Откуда методом Галеркина из интегральной проекционной формы получим систему алгебраических уравнений в матричном виде:

где d, N, B, M, A, U – матрицы с элементами: ;

; ; ; ; .

Здесь - количество базисных функций, учтенных в объеме параллелепипеда; - количество базисных функций, учтенных на гранях параллелепипеда. Векторы , , , составлены из коэффициентов рядов Фурье , представления решения в объеме параллелепипед, , - на гранях параллелепипеда. Исключая векторы , из системы алгебраических уравнений получим матрицу проводимости автономного блока и виде прямоугольного параллелепипеда с диэлектрическим включением и каналами Флоке на гранях , где , I – единичная матрица. Матрица рассеяния может быть получена из матрицы проводимости .

Некоторые результаты математического моделирования оптических фильтров на основе фотонных кристаллов приводятся на рис.2,3.

Рис.2. Спектральная зависимость коэффициента пропускания оптического фильтра на основе фотонного кристалла: кривая 1 - 200нм, 2 - 240нм, 3 - 290нм, , , ,	Рис.3. Спектры отражения широкополосного излучения галогенной лампы от образцов опаловых матриц [1]: кривая 1 - 200нм, 2 - 240нм, 3 - 290нм

При составлении вероятностной имитационной математической модели дифракции ТЕМ-волны на структуре фотонного кристалла (из неоднородных по диаметру диэлектрических наносфер) предполагается, что размеры диаметров фотонных кристаллов распределяются по нормальному закону. Результаты расчета математического ожидания коэффициента пропускания в зависимости от различных значений среднеквадратичного отклонения диаметров диэлектрических наносфер приводятся на рис.4.

Рис.4. Математическое ожидание коэффициента пропускания оптического

фильтра на основе фотонного кристалла: кривая 1 - нм,

2 - нм, 3 - нм; 4 - нм, 5 - нм; нм

С увеличением среднеквадратичного отклонения коэффициент пропускания и полоса непропускания оптического фильтра уменьшаются. При среднеквадратичном отклонении нм и более происходит деградация характеристик оптического фильтра на основе фотонного кристалла из-за рассеяния электромагнитной волны на структуре из упаковки диэлектрических наносфер. Оптический фильтр на основе фотонного кристалла можно реализовать, если среднеквадратичное отклонение диаметров диэлектрических наносфер не превышает нм (для лучших образцов нм). При математическом моделировании число реализаций принималось равным 20 (дальнейшее увеличение числа реализаций практически не изменяло значения математического ожидания коэффициента пропускания).

Заключение. Результаты математического моделирования при помощи трехмерных электродинамических моделей совпадают с данными эксперимента. Электродинамический вероятностный подход к математическому моделированию оптических фильтров на основе фотонных кристаллов позволяет учитывать рассеяние электромагнитных волн на дефектах структуры опаловой матрицы, что позволяет определять качество изготовления оптических фильтров с учетом особенностей современных нанотехнологий на этапе проектирования.

Литература

1. Горелик, В.С. Оптические и диэлектрические свойства наноструктурированных фотонных кристаллов, заполненных сегнетоэлектриками и металлами / В.С. Горелик // Физика твердого тела. – 2009. – Т.51. – вып.7.- С.1252-1257.