Аспирант кафедры математического анализа Кержаев А. П.

Чувашский государственный педагогический университет

им. И. Я. Яковлева, Россия

Об определении перемещений в тонкой пластине с круговым отверстием при двуосном растяжении при наличии трансляционной анизотропии

Рассмотрим двуосное растяжение тонкой пластины, ослабленной круговым отверстием. Материал предполагается упруго-идеальнопластическим, в пластической области имеет место трансляционная анизотропия. В первом приближении определены компоненты напряжений в упругой и пластической областях, определена граница между упругой и пластической областями [2].

Отметим работу [3], в которой рассмотрена анизотропия по Мизесу-Хиллу.

Рассмотрим определение перемещений в пластической и упругой областях. Характер изменения деформированного состояния в процессе нагружения представляется следующим образом: вначале возрастают упругие деформации; затем, когда граница упругопластического состояния материала достигает некоторой точки тела, процесс изменения упругих деформаций в ней прекращается, так как изменения напряжений в пластической области в рассматриваемом случае не происходит. При дальнейшем возрастании нагрузок возникают пластические деформации.

В нулевом исходном осесимметричном состоянии . Компоненты напряжения в упругой и пластической областях определены в работе [2].

Согласно [1] и [2] определим перемещение в упругой зоне, будем считать материал несжимаемым, коэффициент Пуассона

(1)

где E – безразмерный модуль упругости, отнесенный к пределу текучести .

В пластической зоне согласно [2] и ассоциированному закону имеем

(2)

Упругие деформации примут вид

(3)

Согласно [2] из (3) получим

(4)

Согласно [1] запишем соотношения для деформаций

(5)

Тогда из (5) в нулевом приближении имеем

(6)

Из (2), (4), (6) найдем

(7)

Условия сопряжения на упругопластической границе имеют вид

(8)

Из (1), (7) и условий сопряжения (8) получим

(9)

Из (2), (4), (6) найдем

(10)

Рассмотрим первое приближение. Компоненты напряжения в упругой и пластической областях определены в работе [2].

Согласно [1] и [2] в упругой области получим перемещения

(11)

В пластической зоне согласно [2] и ассоциированному закону имеют место следующие соотношения

(12)

В соотношениях (12) присутствуют компоненты пластической деформации, так как только они испытывают приращения в пластической зоне при возрастании нагрузки, причем при имеют место равенства . Момент времени для каждой точки A отсчитывается от момента прохождения через нее упругопластической границы.

Полные деформации при , т. е. в момент возникновения пластических деформаций, отличны от нуля и совпадают с упругими деформациями, накопленными элементом тела к моменту достижения им предела текучести.

Из (12) получим

(13)

Согласно [1], (3), (5), (17) дифференциальные уравнения для определения перемещения в пластической области в первом приближении примут вид

(14)

Из уравнений (14) получим

(15)

Из (11), (15) и условий сопряжения (8) найдем коэффициенты и .

(16)

где

Таким образом, деформированное состояние в пластической (15) и упругой областях (11) полностью определено.

Литература:

1. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. – М. : Наука, 1978. – 208 с.

2. Кержаев, А. П. Упругопластическое состояние тонкой пластины с круговым отверстием в случае трансляционной анизотропии / А. П. Кержаев // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. – 2011. – № 2 (10). – С. 124-130.

3. Павлова, Т. Н. Упругопластическое состояние тонкой пластины из анизотропного материала, ослабленной отверстием под действием растягивающих усилий / Т. Н. Павлова // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. – 2010. – № 2 (66). – С. 112-122.