С.Г. Блажевський, М.П. Ленюк

Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича

МОДЕЛЮВАННЯ ДИФУЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ В НЕОДНОРІДНИХ СЕРЕДОВИЩАХ З М’ЯКИМИ МЕЖАМИ МЕТОДОМ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ФУР’Є – ЕЙЛЕРА – ФУР’Є НА ОБМЕЖЕНІЙ СПРАВА ДЕКАРТОВІЙ ПІВВІСІ

Розглянемо задачу про побудову обмеженого в області

розв’язку сепаратної системи класичних рівнянь дифузії параболічного типу [1]

(1)

за нульовими початковими умовами, умовами спряження

(2)

та крайовими умовами

(3)

У рівностях (1) - (3) беруть участь диференціальні оператори Фур’є

[2], Ейлера [3] та диференціальні оператори

(4)

Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти:

,

Припустимо, що задані та шукані функції є оригіналами за Лапласом стосовно змінної [4]. У зображенні за Лапласом, задачі (2) – (4) відповідає крайова задача: побудувати обмежений на множині розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь.

(5)

за крайовими умовами

(6)

та умовами спряження

(7)

У рівностях (5) – (7) прийняті позначення:

,

Зафіксуємо ту вітку двозначної функції , на якій .

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є утворюють функції та або їх лінійні комбінації та [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції та [3].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі (5) – (7) методом функцій Коші [2,5]:

(8)

Тут - функції Коші [2,5]:

(9)

(10)

(11)

У рівностях (9) - (11) беруть участь функції:

Умови спряження (7) та крайова умова в точці для визначення п’яти величин та дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

(12)

У системі (12) беруть участь функції

.

та символ Кронекера .

Введемо до розгляду функції:

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної задачі: для із , де - абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та визначник алгебраїчної системи (12)

(13)

Визначимо головні розв‘язки крайової задачі (5) – (7):

1) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

(14)

,

,

2) породжені крайовою умовою в точці функції Гріна

(15)

3) породжені неоднорідністю системи функції впливу

(16)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (12) в силу умови (13), підстановки одержаних значень величинтау рівності (8) і низки елементарних перетворень маємо єдиний розв’язок крайової задачі (5) – (7):

(17)

Перейшовши в рівності (17) до оригіналу, матимемо єдиний розв’язок параболічної задачі (1) – (3):

(18)

У рівностях (18) за означенням [4]

(19)

(20)

(21)

Особливими точками функцій , та є точки галуження , та . Ці особливі точки знаходяться на від’ємній піввісі дійсної осі . Це дає нам право «сісти на уявну вісь» й одержати такі розрахункові формули:

(22)

(23)

(24)

Тут означає дійсну частину виразу .

Зауваження 1: Якщо початкові умови не нульові, то заміною змінних завжди можна перейти до нульових початкових умов.

Зауваження 2: Вибором параметрів, які беруть участь у формулюванні даної дифузійної задачі, можна із загальних структур виділити безпосередньо в рамках даної моделі будь-який частковий (практично важливий) випадок.

Зауваження 3: Розв’язок параболічної задачі (1) – (3) можна побудувати методом гібридного інтегрального перетворення типу Фур’є – Ейлера – Фур’є із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження [6].

Література:

1. Тихонов А.Н., Самарський А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735 с.

2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.:Физматгиз, 1959. – 468 с.

3. Нікітіна О.М. Гібридні інтегральні перетворення типу (Ейлера, Бесселя). – Чернівці: Прут, 2008. – 86 с.

4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.

5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.- М.: Наука, 1965.-328с.

6. Ленюк М.П., Лусте І.П. Моделювання процесів дифузії в кусково-однорідному середовищі з м’якими межам. – Чернівці: Прут, 2009. – 74 с.