УДК 62-50: 629.196: 504

Конструирование демпфера с оптимальным законом подавления вибраций технологических агрегатов на основе объединенного принципа максимума

В настоящей работе предлагается новый метод аналитического конструирования оптимального регулятора, основанный на объединенном принципе максимума. Его применение не требует решения краевой задачи Л.С. Понтрягина и не предполагает использования функции Беллмана.

Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В., Шевцова Л.А.

Ключевые слова: аналитическое конструирование оптимального регулятора, объединенный принцип максимума, обобщенная мощность, синтезирующая функция.

Введение. В комплексе мероприятий по созданию безопасных условий труда актуальна проблема подавления вибраций и структурного шума посредством управляемых амортизаторов. Синтез оптимального управления для таких объектов наиболее успешно осуществляется методом объединенного принципа максимума, установленного для признака истинного движения Гамильтона – Остроградского [1 - 3].

1. Решение задачи синтеза оптимального управления на основе теоремы объединенного принципа максимума. Из принципа Гамильтона – Остроградского вытекают уравнения Лагранжа второго рода [9]

(3)

где T - кинетическая энергия системы, - вектор обобщенных сил, зависящий от управлений . Если заданна определенно-положительная функция непрерывная вместе с частными производными во всей области определения, то имеет место следующая формулировка задачи синтеза оптимального управления: определить вектор управления как функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей и соответствующую ему траекторию перевода фазовой точки из начального состояния в конечное такие, чтобы достигался минимум целевого функционала

(4)

при условии (4) и ограничениях на управления (3).

Теорема о необходимых и достаточных условиях оптимальности: для того, чтобы управление и соответствующая ему траектория доставляли минимум расширенному функционалу (5) при ограничениях (2) необходимо и достаточно выполнение условия максимума для функции Ф переменных

(6)

при этом множитель Лагранжа постоянен а на концах траектории t=t₀, t=t₁ выполняются условия трансверсальности в форме функции Гамильтона

(7)

здесь - обобщенная реакция связи, зависящая от способа задания функционала (5).

Явный вид обобщенной силы, зависящей от управлений, находится из объединенного принципа максимума (6) на основе леммы: обобщенная мощность - определенно – отрицательная функция. Условию трансверсальности (7) можно придать форму функции Гамильтона вида

. (8)

Кинетическая энергия и функция - определенно – положительные формы. Поэтому равенство нулю будет обеспечено, если подынтегральное выражение – определенно – отрицательная функция. Это и доказывает лемму. Тогда можно записать в виде определенно – отрицательной квадратичной формы

, (9)

где - знакоотрицательная функция, имеющая смысл углового коэффициента касательной к фазовой траектории и называется синтезирующей функцией [1 - 3]. Отсюда получается выражение для обобщенной силы

(10)

_{Синтезирующая функция определяется выражением [6]}

(11)

где параметры не равны нулю одновременно.

Целевой функционал (4) становится функцией параметров и это позволяет найти их лучшее сочетание в зависимости от терминальных условий.

2. Конструирование демпфера с оптимальным законом подавления вибраций технологических агрегатов. Рассматривается типовой агрегат, состоящий из привода и машины, которые могут устанавливаться на общем или на индивидуальных основаниях. Причиной возникновения вибраций является плохая балансировка подвижных частей агрегата. Уравнения Лагранжа вибрационного движения имеют вид

, (12)

где , - эксцентриситеты статической несбалансированности, , - частоты вращения, - начальные фазы гармонических колебаний.

Ставится задача: найти закон оптимального демпфирования вибраций, а по нему подобрать коэффициенты жесткости упругого элемента C и коэффициент гидравлического сопротивления b.

В соответствии с основной теоремой объединенного принципа максимума закон оптимального управления будет иметь вид

(13)

для целевого функционала [1]

. (14)

Коэффициент жесткости постоянен , а коэффициент гидравлического сопротивления в законе управления будет таким

(15)

и может быть реализован путем изменения диаметра дроссельного отверстия.

Пусть для дроссельного отверстия справедливо положение о ламинарном режиме течения жидкости в нем [10]. Тогда из сравнения потерь напора в диссипативной части (38) и потерь напора в дроссельном отверстии получается выражение для определения диаметра дроссельного отверстия

, (16)

где - коэффициент гидравлического трения, - число Рейнольдса, - диаметр дроссельного отверстия в силовом поршне демпфера диаметром , - коэффициент кинематической вязкости, - длина дроссельного отверстия, - плотность рабочей жидкости, - ускорение свободного падения, - скорость движения жидкости сквозь дроссельное отверстие, которая определяется выражением

. (17)

Закон изменения относительного диаметра отверстия имеет вид

. (18)

Вычислительный эксперимент проводился для двух вариантов исходных данных при , , , , , . На Рисунках 1 и 2 показаны законы изменения относительного диаметра и сопротивления в случае, когда привод и машина установлены на разных основаниях (,, ). На Рисунке 3 показаны в сравнении вибрационная характеристика, обозначенная кривой 1, и вынуждающее воздействие, обозначенное кривой 2. На Рисунках 4 и 5 показаны законы изменения относительного диаметра и сопротивления , когда объекты установлены на одном основании (,,,, ). На Рисунке 6 показаны вибрационная характеристика, обозначенная кривой 1, и вынуждающее воздействие, обозначенное кривой 2.

Заключение. Новый метод аналитического конструирования оптимального регулятора обладает универсальностью и простотой, позволяет решать задачу вплоть до конкретных расчетов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В. Синтез оптимальных по быстродействию систем на основе объединенного принципа максимума // Информационно-измерительные и управляющие системы, 2007, №12, С. 34-40.

2. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В. Объединенный принцип максимума в задачах оценки параметров движения маневрирующего летательного аппарата // Радиотехника и электроника. 2009. Т. 54, №4. С. 450 – 457.

3. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В., Шевцова Л.А. Синтез оптимального управления на основе объединенного принципа максимума // Известия высших учебных заведений. Северо – Кавказский регион. Технические науки, 2010, №2, С. 31 - 37.

4. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Наук, 1983. – 392 с.

5. Беллман Р. Динамическое программирование. – М.: ИЛ; Наук, 1960. – 400 с.

6. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Наука ГРФМЛ, 1961. – 824 с.

7. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: ГРФМЛ, 1987. – 840 с.