УДК 621.01

Бергер Э.Г., Дмитриев Д.А., Табацков В.П., Бергер Е.Э.

Херсонский национальный технический университет

СИНТЕЗ НАПРАВЛЯЮЩИХ МЕХАНИЗМОВ МЕТОДОМ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЕМЕЙСТВ

Работа посвящена исследованию одной из основных задач теории механизмов и машин – задачи воспроизведения заданной траектории. Эта задача включает синтез механизма, обеспечивающего перемещение точки ведомого звена (исполнительного органа) по требуемой плоской или пространственной кривой. Такие механизмы, называемые направляющими, находят практическое применение как разметочные и чертежные приборы, в качестве узлов машин-автоматов, "механических рук" промышленных роботов и в устройствах для обработки деталей со сложными криволинейными профилями.

В основу синтеза направляющих механизмов положен принцип механической реализации графических построений. Он состоит в том, что всякая схема или способ графического построения , в том числе и построения кривой, может рассматриваться как геометрический аналог роектируемого механизма.

При этом элементы графических построений (точки, прямые, дуги окружностей и т. п.) заменяются их механическими представителями – ползунами, роликами, прямолинейными или криволинейными направляющими, кулисами, кривошипами, угловыми рычагами и др. В результате этой замены получают механизм, реализующий данное графическое построение.

Таким образом, первоначальной задачей синтеза механизма для воспроизведения кривой является определение закономерности ее графического образования, т. е. определение способа построения кривой с целью дальнейшей механической реализации этого построения.

Применяемые в настоящее время методы нахождения способов построения заданной кривой требуют предварительного определения вида геометрических преобразований, в результате которых образуется кривая (геометрические методы), или исследования уравнения кривой для установления свойств, определяющих способы ёё построения (алгебро-геометрический метод). Однако эта задача не имеет общих методов решения и является трудоемкой и сложной, особенно для кривых порядка выше второго.

Поэтому для определения схемы-способа построения заданной кривой авторы рекомендуют использовать метод однопараметрических семейств, позволяющий решать эту задачу без предварительного трудоемкого определения свойств кривой, ведущих к ее построению.

Сущность метода состоит в том, что кривая F , заданная уравнением

F (x, y)=0,

(1)

представляется геометрическим местом точек пересечения соответственных кривых, принадлежащих однопараметрическим семействам

f (x, y, t)=0.....(а); φ (x, y, t)=0.....(б),

(2)

где t – произвольно введенный переменный параметр. Соответственными называем кривые семейств (2) с одним и тем же значением параметра t_i.

Вид уравнений (а) и (б) должны быть таким, чтобы совместное их решение исключение параметра t – приводило к уравнению (1); в этом случае точки пересечения соответственных кривых (а_i) и (б_i) принадлежат кривой (1).

Для достижения этого одно из уравнений семейств, например (а), может быть выбрано произвольно; второе ‑ (б) определяется из совместного решения (1) и (а). Т. е. задача является неопределенной и имеет множество решений.

В синтезе направляющих механизмов эта множественность является положительным фактором, так как позволяет получать множество различных конструкций.

Самым известным примером этого метода и его частным случаем является общепринятое представление кривой (1) в параметрической форме

х= х ( t )..... (а); y= y ( t )..... (б),

(3)

Задача также является неопределенной, однако широко используется в математике, так как часто помогает найти способы построения данной кривой (1).

Здесь уравнения (3) выражают семейства прямых, параллельных осям координат. Исключение параметра t приводит к уравнению (1). Значит, точки пересечения соответственных прямых x_i и y_i принадлежат кривой (1). Придавая параметру t ряд различных значений t= t ₁, t ₂, t ₃......, будем получать множество точек заданной кривой.

Следующим этапом синтеза является определение схемы, т.е. способа построений точек М_i пересечения соответственных кривых семейств (2) или (3). Эта задача требует от проектанта определенных знаний и навыков из раздела "графическая математика".

Полученная схема построений рассматривается как геометрический аналог механизма, и выполняется переход к его кинематической схеме по принципу механической реализации графических построений.

Таким образом, синтез направляющих механизмов предлагаемым методом осуществляется по трем этапам:

1. Представление заданной кривой (1) в форме однопараметрических семейств кривых (2).

2. Определение способа построения точек М_i кривой (1).

3. Переход от схемы построений к кинематической схеме механизма по принципу механической реализации построений.

Проведенные исследования показали эффективность и продуктивность изложенного метода; на его основе получаются как известные, так и новые, вполне патентоспособные конструкции. Авторами разработан ряд новых направляющих механизмов, конструкции которых защищены авторскими свидетельствами.

Множественность решений позволяет получать множество разнообразных конструкций, что дает возможность выбирать наиболее подходящую к заданным условиям работы.