МАТЕМАТИКА Прикладная математика.

УДК 629.5.013.5.001.24

Артюшина Т.Г, к.т.н., доцент кафедры высшей математики

Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова 117997, Российская Федерация, г. Москва, Стремянный пер., 36.

Сухорукова И. В., ·д.э.н., профессор кафедры высшей математики

Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова 117997, Российская Федерация, г. Москва, Стремянный пер., 36.

Описание объектов экономической системы с помощью нечетких множеств с последующим согласованием их согласованием.

В статье дается полное описание экономической системы. Подробно описывается объект экономической системы NPV (чистый дисконтированный доход) с помощью математики нечетких множеств. Рассмотрены вопросы, связанные с координированием и согласованием объектов экономической системы.

Нечеткая логика, созданная в 1960-х гг. профессором Лофти А. Заде, переживает сейчас второе рождение. В настоящее время наблюдается всплеск интереса к моделям, описанных с использованием математики нечетких множеств. Данные модели могут быть использованы для описания сложных экономических, социальных и технических систем. Начиная с конца 1970-х г., методы теории нечетких множеств начинают применяться в экономике. В России интерес к исследованиям в области экономики, бизнеса и финансов, которые построены на нечетких принципах, появился совсем недавно. Следует отметить ученых, внесших огромный вклад в развитие данного научного направления в России в последние годы: Недосекин А.О., Воронов К.И., Максимов О.Б., Павлов Г.С., Фролов С.Н., Бочарников В.П..

Подробно остановимся на описании экономической системы. Под любой реальной системой понимается некоторая совокупность объектов, находящихся в отношениях и связях между собой и взаимодействующих с окружающей средой. Каждая такая система имеет глобальную цель создания, причем каждый объект системы имеет собственную цель. Разрабатывая многоцелевую концепцию реальной экономической системы, можно представить ее математическую модель как семейство частных математических моделей, каждая из которых моделирует определенную задачу . При такой постановке задачи можно менять глобальный критерий оптимизации, так как, при формировании программы функционирования системы на макроэкономическом уровне (региональная или национальная экономика) может быть выдвинут один критерий оптимальности, а при оптимизации проектирования системы на микроэкономическом уровне (предприятие, которое производит продукцию или услуги) – другой.

Представим реальную систему как совокупность системообразующих множеств:

A =A(W,M,R,P ) ,

где W − множество факторов внешней среды; M − множество элементов системы, объединенных в подсистемы и систему в целом; R − множество отношений, связывающих между собой элементы множества M, а также элементы множества M с элементами множества W; P − множество свойств системы и его подсистем.

Для управляющей подсистемы задача оптимизации имеет вид:

(Х1)min £ Х1 £ (Х1)mах ;

Gj1(Х1, С1) £ Аj1(С1) ; j1Î J1 ; (1)

extr Z1 (Х1, С1) ; Z1 Î Z ;

где С1 – вектор элементов технического задания, входящий в системообразующее множество W1; Х1 – вектор, описывающий характеристики компонентов управляющей подсистемы и принадлежащий множеству М1; Gj1 – оценка j1-го качества подсистемы, построенная на отношениях из R1 и принадлежащая системообразующему множеству Р1; Аj1 – требования к j1-му качеству подсистемы, J1 - множество отношений между компонентами управляющей системы; Z1 – критериальная оценка подсистемы из множества критериальных функций Z.

Для управляемой подсистемы задача оптимизации формулируется как:

С2 = fC (Х1, Gj1, Z1);

(Х2)min £ Х2 £ (Х2)mах ;

Х2 = fХ (Х1, Gj1, Z1);

(Х2)min = f ХMIN (Х1, Gj1, Z1);

(Х2)max = f ХMAX (Х1, Gj1, Z1); (2)

Gj2(Х2, С2) £ Аj2(С2) ; j2Î J2 ;

J2 = fJ (Х1, Gj1, Z1) ;

Z2 = fZ (Х1, Gj1, Z1) ;

extr Z2 (Х2, С2) ; Z2 Î Z ;

где С2, Х2, Gj2, Аj2, Z2 имеют тот же смысл, что и для управляющей системы, однако, все они являются функциями элементов управляющей оптимизационной задачи. Определение поведения таких иерархических систем становится все более необходимым, так как особенность подобных систем заключается в том, что значительная часть информации, необходимой для их математического описания, существует в форме представлений или пожеланий экспертов, что невозможно отразить с помощью традиционной математики, но что легко решается при использовании теории нечетких множеств.

Коротко остановимся на основных терминах, применяемых в теории нечетких множеств. Под нечеткой целью подразумевается цель, которую можно описать как нечеткое множество в соответствующем пространстве. Пусть Х - заданное множество альтернатив. Тогда нечеткая цель будет определяться фиксированным нечетким подмножеством C множества Х и характеризуется функцией принадлежности которая ставит в соответствие каждому элементу хÎХ число из интервала [0, 1], характеризующее степень принадлежности элемента х подмножеству С, где 0 и 1 представляют собой соответственно самую низкую и самую высокую степень принадлежности. Подобным же образом, описывается нечеткое ограничение L в пространстве Х. Важным моментом здесь является то, что и цель и ограничение рассматриваются как нечеткие множества в пространстве альтернатив, что дает возможность не делать между ними различия при формировании решения. Решение - это по существу выбор одной или нескольких из имеющихся альтернатив. Проблема принятия решения в нечетких условиях интерпретируется тогда как комплексное влияние нечеткой цели C и нечеткого ограничения L на выбор альтернатив и характеризуется пересечением С c L, которое и образует нечеткое множество решений D, т.е. D=CÙL. Функция принадлежности для множества решений задается соотношением mD(x)=mCÙmL. В общем случае, если имеется n целей и m ограничений, то результирующее решение определяется пересечением всех заданных целей и ограничений.

Постараемся с помощью теории нечетких множеств описать произвольный объект сложной системы, где все множество решений кластеризуется по облегченной схеме как “хорошие”, “приемлемые”, “плохие” и в качестве варьируемых переменных рассматриваются две переменные X1 и X2. Пусть целью оптимизации данного объекта является минимизация критерия оптимизации.

Как мы видим из представленной системы, функция принадлежности ставит в соответствии число из отрезка [0;1], характеризующее степень его принадлежности к подмножеству эффективных и допустимых решений , где X1 и X2 – оптимизируемые переменные. Таким образом, математическое описание зависимости может выглядеть так: «хорошие» решения [m (Х1,Х2)=1] при минимальном значении функции оптимизации (), «приемлемые» решения при разнице значения функции оптимизации от минимальной не более A%, плохие «решения» при разнице значения функции оптимизации от минимальной более A%, где A – константа, задаваемая проектантом и зависит от степени важности подсистемы и определяется путем экспертных оценок. Количество кластеров может быть любым. На практике удобно использовать функции принадлежности, которые допускают аналитическое представление в виде некоторой простой математической функции, что упрощает численные расчеты и сокращает вычислительные ресурсы, необходимые для хранения отдельных значений этих функций принадлежности. В таблице 1 показаны наиболее характерные функции принадлежности.

Таблица 1. Виды функции принадлежности

Аналитическое представление	Графическое представление
Сигмоидная функция принадлежности (дополнительная двухсторонняя)	1 1 0,5 0 а b c x
Треугольная функция принадлежности	1 0.5 0 a c b x
Трапециевидная функция принадлежности	1 0,5______________________________ 0 a c d b x
Гауссовская функция принадлежности	1 0,5 0 a – 3b a a + 3b

По предложенной выше упрощенной схеме опишем объект экономической системы. Одна из самых сложных задач в сфере экономики, производства и управления - анализ и оценка инвестиционных проектов. Ее сложность обусловлена значительной неопределенностью, так как при решении вопроса об инвестициях. Введем понятие NPV(чистый дисконтированный доход) – один из самых распространенных показателей эффективности инвестиционного проекта, который представляет собой разность между дисконтированными по времени поступлениями от проекта и инвестиционными затратами на него: (4),

где I- стартовый объем инвестиций, N – число плановых интервалов инвестиционного процесса, соответствующих сроку жизни проекта, - оборотное сальдо поступлений и платежей в i–м периоде, ri – ставка дисконтирования, выбранная для i – го периода с учетом оценок ожидаемой стоимости используемого в проекте капитала (например, ожидаемая ставка по долгосрочным кредитам), С – ликвидационная стоимость чистых активов, сложившаяся в ходе инвестиционного процесса ( в том числе остаточная стоимость основных средств на балансе предприятия). Данный показатель необходим для многовариантной оценки степени риска инвестиционного проекта с помощью более сложного комплексного показателя V&M, .выведенного консультационной группой “Воронов и Максимов”

G – предустановленный плановый уровень NPV, ниже которого проект становится неэффективным. Как и в случае объекта технической системы, мы видим, что функция принадлежности сведена к простейшему упрощенному треугольному виду. При этом степень градации можно расширить. Так если мы анализируем риски инвестора, можно использовать более подробную схему градации степеней риска {Незначительная, Низкая, Средняя, Относительно высокая, Неприемлемая}.

При описании реальной системы следует также учитывать сложности, связанные с координированием и согласованием объектов системы. Для успешной работы многоуровневой иерархической системы необходимо, чтобы цели ее подсистем были скоординированы между собой и с глобальной целью всей системы в целом. Введем два понятия координируемости на языке теории нечетких множеств, которые имеют целью количественно рассчитать координируемость реальных систем. Задача имеет решение, если существует такой режим x0, для которого , т.е.

(6)

Решения нижестоящих j объектов уровня i описываются функциями принадлежности

, а решение задачи вышестоящих элементов объектов r уровня (i+1) по координированию решений нижестоящих подсистем - функцией принадлежности . Отсюда следует, что задачи, решаемые нижестоящими элементами, координируемы между собой, если справедливо следующее предложение:

(7)

Следовательно, координируемость задач между собой требует, чтобы эта задача имела решение хотя бы при одном x(i+1)r и для этого решения множество частных задач D, решаемых нижестоящими элементами, также имело решение, т.е. в терминах теории нечетких множеств задачи, решаемые нижестоящими элементами, координируемы между собой в том случае, если нечеткое множество D не пусто

(8)

Задачи, которые будут решаться нижестоящими элементами, координируемы относительно заданной глобальной цели G уровня (i+1), если справедливо следующее предложение:

(9)

Так как является максиминным критерием, выражение можно переписать в виде

(10)

Таким образом, оптимальное решение многоуровневой иерархической системы обладает тем свойством, что каковы бы не были состояние и решение вышестоящего уровня, последующие решения нижестоящих уровней должны быть оптимальными относительного этого решения (принцип Беллмана). Этот принцип позволяет до минимума сократить обмен информации между уровнями.

В заключении отметим, что оперируя языком нечетких множеств, мы можем описать любую реальную экономическую систему. Данный подход дает приближенные, но тоже время эффективные способы описания поведения систем, настолько сложных и плохо определенных, что они не поддаются точному математическому описанию.

Литература

1) Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. Тюмень, Тюменский государственный университет,2000,352 с

2)Артюшина Т.Г. “Применение теории нечетких множеств для отображения общности принципов, используемых при описании структуры объектов реальной системы, на примере объектов технической и экономической систем. Москва, Наукоемкие технологии,№2,2016,т.17,с.66-70.

3) Артюшина Т.Г. Описание и оптимизация элемента многоуровневой системы “Судно” на основе теории нечетких множеств. СПб.: Морской Вестник.2010.№4(36). С 99-101.

4)Бобрик Г.И., Бобрик П.П., Искоростинский А.И.” Потенциальность локального биржевого ценообразования” Образовательные ресурсы и технологии. 2014. № 4 (7). С. 18-21.

5) Sukhorukova, I.V., Likhachev G.G Optimization of centralized procurement management subsidiaries of the state corporation.  Nauka i Studia , 2015. Т. 6. С. 9-16