Конет І.М., Ленюк М.П.
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПО СОБСТВЕННЫМ
ЭЛЕМЕНТАМ ГИБРИДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА БЕССЕЛЯ-ЭЙЛЕРА-ФУРЬЕ НА
ПОЛЯРНОЙ ОСИ
Построим ограниченное на множестве ={r : r Î(0, R1)
(R1, R2)
(R2, ¥)} решение сепаратной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений Бесселя, Эйлера и Фурье для модифицированных функций
, r Î (0, R1)
, r Î (R1,
R2), (1)
, r Î (R2,
¥)
по условиям сопряжения
, j, k = 1, 2. (2)
В
системе (1) принимают участие дифференциальный оператор Бесселя [1] и дифференциальный
оператор Эйлера [2]
, 2aj +1 > 0.
Предположим,
что выполнены условия на коэффициенты: qj > 0, ³ 0,
³ 0, c1kc2k >
0,
.
Фундаментальную
систему решений для дифференциального уравнения Бесселя (Bn, a – q2)v
= 0 образуют модифицированные функции Бесселя первого рода In, a(qr) и
второго рода Kn, a(qr) [2];
фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Эйлера ( – q2)v = 0 образуют функции v1
= r –a – q и v2 = r –a +q [2]; фундаментальную систему решения для
дифференциального уравнения Фурье (d2 / dr2 – q2)v = 0 образуют функции v1 = exp(qr) и v2 exp(–qr) [2].
Наличие
фундаментальной системы решений позволяет построить общее решение краевой
задачи (1), (2) методом функций Коши [2, 3]:
u1(r) = A1 +
,
u2(r) = A2 + B2
+
, (3)
u3(r) = B3 +
.
Здесь
Ej(r, r) – функции Коши [1, 3]:
,
, (4)
j1(r) = , j2(r) =
, j3(r) = 1.
Введем
в рассмотрение функции:
,
,
.
Непосредственно
проверяется, что функция Коши
(5)
Определим функции:
,
,
, j, k = 1, 2,
.
Непосредственно
проверяется, что функция Коши
(6)
Предположим,
что функция Коши
Свойства
(4) функции Коши дают алгебраическую систему:
,
.
Отсюда
получаем соотношения:
,
. (7)
Дополним
систему (7) алгебраическим уравнением:
:
. (8)
Из
алгебраической системы (7), (8) находим, что
D2 = .
Этим
функция Коши E3(r, r) определена и в силу симметрии относительно диагонали
r = r имеет структуру:
(9)
Обратимся
к формулам (3). Условия сопряжения (2) дают для определения величин A1,
A2, B2, B3 неоднородную алгебраическую систему из четырех
уравнений:
,
, (10)
,
.
В алгебраической системе (10) принимают участие функции
G12=+
,
G23 = –
.
Введем
в рассмотрение функции:
An, (a); j = , (a) = (a1, a2),
=
, j = 1, 2,
=
,
=
.
Предположим,
что выполнено условие однозначной разрешимости краевой задачи (1), (2): для
любого ненулевого вектора = {q1; q2; q3}
определитель алгебраической системы (10) [4]
º
º ¹ 0. (11)
Определим
главные решения краевой задачи (1), (2):
1) порожденные неоднородностью условий сопряжения
функции Грина
,
, q = (q1, q2,
q3),
,
, (12)
,
,
,
;
,
,
,
;
2) порожденные неоднородностью системы (1) функции влияния
,
,
,
(13)
,
,
,
В
результате однозначной разрешимости алгебраической системы (10) в силу условия
(11) и подстановки полученных значений A1,
A2, B2, B3 в формулы (3) имеем единственное решение краевой
задачи (1), (2):
uj(r) = +
+
+ +
, j =
. (14)
Построим
теперь общее
решение краевой задачи (1), (2) методом
гибридного интегрального преобразования (ГИП), порожденного на множестве гибридным
дифференциальным оператором (ГДО)
Mn, (a) = q(r)q(R1 – r)
+ q(r – R1)q(R2 – r)
+ q(r – R2) d2 / dr2, (15)
где q(x) – единичная функция Хевисайда [3].
Так как
ГДО Mn, (a)
самосопряженный и имеет одну особую точку r = ¥, то его спектр действительный и непрерывный [5].
Можно считать, что спектральный параметр b Î (0, ¥). Отвечающую ему спектральную вектор-функцию
Vn, (a)(r, b) = q(r)q(R1 – r) Vn, (a); 1 (r, b) + q(r – R1)q(R2 – r)Vn, (a); 2(r, b) +
+
q(r – R2)Vn, (a); 3(r, b)
найдем как ненулевое ограниченное на множестве решение сепаратной
системы обыкновенных дифференциальных уравнений Бесселя, Эйлера и Фурье
, r Î (0, R1)
, r Î (R1, R2), (16)
, r Î (R2,
¥)
по условиям сопряжения
, j, k = 1, 2. (17)
Здесь bj = ()1/2,
³ 0, j =
.
Фундаментальную
систему решений для дифференциального уравнения Бесселя ( +
)v = 0 образуют функции v1 =
и v2 =
[1]; фундаментальную
систему решений для дифференциального уравнения Эйлера (
+
)v = 0 образуют функции [2] v1 =
cos(b2lnr) и v2 =
sin(b2lnr) [2]; фундаментальную систему решений для
дифференциального уравнения Фурье (d2 / dr2 +
)v = 0 образуют функции v1 = cos b3r и v2 = sin b3r [2].
Если
положить
Vn, (a); 1(r, b) = A1,
Vn, (a); 2(r, b) = A2cos(b2lnr) + B2
sin(b2lnr), (18)
Vn, (a); 3(r, b) = A3cos(b3r) + B3sin(b3r),
то условия сопряжения (17) дают для определения величин Aj (j = ) и Bk (k = 2, 3) алгебраическую систему из четырех уравнений:
= 0, j = 1, 2,
. (19)
В
этой алгебраической системе принимают участие функции
,
=
–
,
=
+
,
,
.
Алгебраическая
система (19) всегда совместная, т.е. имеет ненулевое решение, получаемое
стандартным приемом [4]. В результате подстановки полученных значений Aj
и Bk в равенства (18) имеем:
Vn, (a); 1(r, b) = c21b2c22b3
,
Vn, (a); 2(r, b) = c22b3[],
Vn, (a); 3(r, b) = wn, (a); 2(r, b)cos b3r – wn, (a); 1(r, b)sin b3r. (20)
В
равенствах (20) приняты обозначения:
,
,
,
, j = 1, 2.
Введем
в рассмотрение весовую функцию
s (r) =q(r)q(R1 – r)s1 + q(r – R1)q(R2 – r) s2
+ q(r – R2) s3,
где ,
, s3 = 1,
и спектральную плотность
Wn, (a)(b) = b[b3(b)]–1([wn, (a); 1(b)]2 + [wn, (a); 2(b)]2)–1.
Наличие
спектральной функции Vn, (a)(r, b), весовой функции s(r) и
спектральной плотности Wn, (a)(b) позволяет ввести ГИП (прямое Hn, (a) и
обратное ), порожденное на множестве
ГДО Mn, (a) [5]:
, (21)
. (22)
Здесь
вектор-функция g(r) = {g1(r); g2(r); g3(r)} – любая
функция из области определения ГДО Mn, (a).
В
основе применения ГИП, введенного правилами (21), (22), для решения
соответствующих задач лежит основное тождество интегрального преобразования ГДО
Mn, (a): если
вектор-функция f(r) = {[g1(r)];
[g2(r)];
} непрерывная на множестве
, а функции gj(r) удовлетворяют условиям сопряжения (2) и условиям
ограниченности
= 0,
= 0,
то имеет место равенство
Hn, (a)[Mn, (a)[g(r)]]=
В
равенстве (23) приняты обозначения:
,
,
,
, hm
=
,
, i, m = 1, 2.
Единственное
решение краевой задачи (1), (2), построенное по известной логической схеме
методом ГИП, введенного по правилам (21), (22) [5], имеет
структуру:
uj(r) = +
+
+
+
+ (24)
+ ,
j = .
Здесь
принимает участие функция
, q2 = max{
;
;
}.
Сравнивая
решения (14) и (24) в силу единственности, получаем такие формулы вычисления полипараметрических
несобственных интегралов:
=
, j, k =
, (25)
=
,
m = 1, 2, j =
, (26)
=
, m = 1, 2, j =
. (27)
Функции
определены по
формулам (13), а функции Грина
– по формулам (12).
Поскольку
правые части в формулах (25) – (27) не зависят от неравенства () ³ 0, то можно положить
, суживая при этом семью несобственных интегралов.
Результатом
проведенных исследований есть утверждение.
Основная теорема. Если вектор-функция g(r) удовлетворяет
условиям положения об основном тождестве и выполняется условие (11)
однозначной разрешимости краевой задачи (1), (2), то справедливы формулы (25) –
(27) вычисления несобственных полипараметрических интегралов по собственным
элементам ГДО Mn, (a), определенного равенством (14).
Отметим,
что результаты работы (формулы (25) – (27))
пополняют справочную математическую литературу.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Ленюк М.П. Исследование
основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев,
1982. – 62 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).
2.
Степанов В.В. Курс
дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.
3.
Шилов Г.Е. Математический анализ.
Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
4.
Курош А.Г. Курс высшей
алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.
5.
Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є,
Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економ. думка, 2004. – 368 с.