Конет І.М., Ленюк М.П.

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПО СОБСТВЕННЫМ ЭЛЕМЕНТАМ ГИБРИДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА БЕССЕЛЯ-ЭЙЛЕРА-ФУРЬЕ НА ПОЛЯРНОЙ ОСИ

Построим ограниченное на множестве ={r : r Î(0, R₁)(R₁, R₂)(R₂, ¥)} решение сепаратной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Бесселя, Эйлера и Фурье для модифицированных функций

, r Î (0, R₁)

, r Î (R₁, R₂), (1)

, r Î (R₂, ¥)

по условиям сопряжения

, j, k = 1, 2. (2)

В системе (1) принимают участие дифференциальный оператор Бесселя [1] и дифференциальный оператор Эйлера [2] , 2a_j +1 > 0.

Предположим, что выполнены условия на коэффициенты: q_j > 0, ³ 0, ³ 0, c_1kc_2k > 0, .

Фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Бесселя (B_{n, a} – q²)v = 0 образуют модифицированные функции Бесселя первого рода I_{n, a}(qr) и второго рода K_{n, a}(qr) [2]; фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Эйлера ( – q²)v = 0 образуют функции v₁ = r ^{–a – q} и v₂ = r ^{–a +q} [2]; фундаментальную систему решения для дифференциального уравнения Фурье (d² / dr² – q²)v = 0 образуют функции v₁ = exp(qr) и v₂ exp(–qr) [2].

Наличие фундаментальной системы решений позволяет построить общее решение краевой задачи (1), (2) методом функций Коши [2, 3]:

u₁(r) = A₁ + ,

u₂(r) = A₂ + B₂ + , (3)

u₃(r) = B₃ + .

Здесь E_j(r, r) – функции Коши [1, 3]:

,

, (4)

j₁(r) = , j₂(r) = , j₃(r) = 1.

Введем в рассмотрение функции:

,

,

.

Непосредственно проверяется, что функция Коши

(5)

Определим функции:

,

,

, j, k = 1, 2,

.

Непосредственно проверяется, что функция Коши

(6)

Предположим, что функция Коши

Свойства (4) функции Коши дают алгебраическую систему:

,

.

Отсюда получаем соотношения:

, . (7)

Дополним систему (7) алгебраическим уравнением:

: . (8)

Из алгебраической системы (7), (8) находим, что

D₂ = .

Этим функция Коши E₃(r, r) определена и в силу симметрии относительно диагонали r = r имеет структуру:

(9)

Обратимся к формулам (3). Условия сопряжения (2) дают для определения величин A₁, A₂, B₂, B₃ неоднородную алгебраическую систему из четырех уравнений:

,

, (10)

,

.

В алгебраической системе (10) принимают участие функции

G₁₂=+,

G₂₃ = – .

Введем в рассмотрение функции:

A_{n, (a); j} = , (a) = (a₁, a₂),

= , j = 1, 2,

= ,

= .

Предположим, что выполнено условие однозначной разрешимости краевой задачи (1), (2): для любого ненулевого вектора = {q₁; q₂; q₃} определитель алгебраической системы (10) [4]

º

º ¹ 0. (11)

Определим главные решения краевой задачи (1), (2):

1) порожденные неоднородностью условий сопряжения функции Грина

, , q = (q₁, q₂, q₃),

,

, (12)

, ,

, ;

, ,

, ;

2) порожденные неоднородностью системы (1) функции влияния

,

,

,

(13)

,

,

,

В результате однозначной разрешимости алгебраической системы (10) в силу условия (11) и подстановки полученных значений A₁, A₂, B₂, B₃ в формулы (3) имеем единственное решение краевой задачи (1), (2):

u_j(r) = + +

+ + , j = . (14)

Построим теперь общее решение краевой задачи (1), (2) методом гибридного интегрального преобразования (ГИП), порожденного на множестве гибридным дифференциальным оператором (ГДО)

M_{n, (a)} = q(r)q(R₁ – r) + q(r – R₁)q(R₂ – r) + q(r – R₂) d² / dr², (15)

где q(x) – единичная функция Хевисайда [3].

Так как ГДО M_{n, (a)} самосопряженный и имеет одну особую точку r = ¥, то его спектр действительный и непрерывный [5]. Можно считать, что спектральный параметр b Î (0, ¥). Отвечающую ему спектральную вектор-функцию

V_{n, (a)}(r, b) = q(r)q(R₁ – r) V_{n, (a); 1} (r, b) + q(r – R₁)q(R₂ – r)V_{n, (a); 2}(r, b) +

+ q(r – R₂)V_{n, (a); 3}(r, b)

найдем как ненулевое ограниченное на множестве решение сепаратной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Бесселя, Эйлера и Фурье

, r Î (0, R₁)

, r Î (R₁, R₂), (16) , r Î (R₂, ¥)

по условиям сопряжения

, j, k = 1, 2. (17)

Здесь b_j = ()^1/2, ³ 0, j = .

Фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Бесселя ( + )v = 0 образуют функции v₁ = и v₂ = [1]; фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Эйлера ( + )v = 0 образуют функции [2] v₁ = cos(b₂lnr) и v₂ = sin(b₂lnr) [2]; фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Фурье (d² / dr² + )v = 0 образуют функции v₁ = cos b₃r и v₂ = sin b₃r [2].

Если положить

V_{n, (a); 1}(r, b) = A₁,

V_{n, (a); 2}(r, b) = A₂cos(b₂lnr) + B₂sin(b₂lnr), (18)

V_{n, (a); 3}(r, b) = A₃cos(b₃r) + B₃sin(b₃r),

то условия сопряжения (17) дают для определения величин A_j (j = ) и B_k (k = 2, 3) алгебраическую систему из четырех уравнений:

= 0, j = 1, 2,

. (19)

В этой алгебраической системе принимают участие функции

,

= – ,

= + ,

,

.

Алгебраическая система (19) всегда совместная, т.е. имеет ненулевое решение, получаемое стандартным приемом [4]. В результате подстановки полученных значений A_j и B_k в равенства (18) имеем:

V_{n, (a); 1}(r, b) = c₂₁b₂c₂₂b₃,

V_{n, (a); 2}(r, b) = c₂₂b₃[],

V_{n, (a); 3}(r, b) = w_{n, (a); 2}(r, b)cos b₃r – w_{n, (a); 1}(r, b)sin b₃r. (20)

В равенствах (20) приняты обозначения:

,

,

,

, j = 1, 2.

Введем в рассмотрение весовую функцию

s (r) =q(r)q(R₁ – r)s₁ + q(r – R₁)q(R₂ – r) s₂ + q(r – R₂) s₃,

где , , s₃ = 1,

и спектральную плотность

W_{n, (a)}(b) = b[b₃(b)]^–1([w_{n, (a); 1}(b)]² + [w_{n, (a); 2}(b)]²)^–1.

Наличие спектральной функции V_{n, (a)}(r, b), весовой функции s(r) и спектральной плотности W_{n, (a)}(b) позволяет ввести ГИП (прямое H_{n, (a)} и обратное ), порожденное на множестве ГДО M_{n, (a)} [5]:

, (21)

. (22)

Здесь вектор-функция g(r) = {g₁(r); g₂(r); g₃(r)} – любая функция из области определения ГДО M_{n, (a)}.

В основе применения ГИП, введенного правилами (21), (22), для решения соответствующих задач лежит основное тождество интегрального преобразования ГДО M_{n, (a)}: если вектор-функция f(r) = {[g₁(r)]; [g₂(r)]; } непрерывная на множестве , а функции g_j(r) удовлетворяют условиям сопряжения (2) и условиям ограниченности

= 0,

= 0,

то имеет место равенство

H_{n, (a)}[M_{n, (a)}[g(r)]]=

В равенстве (23) приняты обозначения:

, ,

, , h_m = ,

, i, m = 1, 2.

Единственное решение краевой задачи (1), (2), построенное по известной логической схеме методом ГИП, введенного по правилам (21), (22) [5], имеет структуру:

u_j(r) = +

+ +

+ + (24)

+ ,

j = .

Здесь принимает участие функция

, q² = max{; ; }.

Сравнивая решения (14) и (24) в силу единственности, получаем такие формулы вычисления полипараметрических несобственных интегралов:

= , j, k = , (25)

= , m = 1, 2, j = , (26)

= , m = 1, 2, j = . (27)

Функции определены по формулам (13), а функции Грина – по формулам (12).

Поскольку правые части в формулах (25) – (27) не зависят от неравенства () ³ 0, то можно положить , суживая при этом семью несобственных интегралов.

Результатом проведенных исследований есть утверждение.

Основная теорема. Если вектор-функция g(r) удовлетворяет условиям положения об основном тождестве и выполняется условие (11) однозначной разрешимости краевой задачи (1), (2), то справедливы формулы (25) – (27) вычисления несобственных полипараметрических интегралов по собственным элементам ГДО M_{n, (a)}, определенного равенством (14).

Отметим, что результаты работы (формулы (25) – (27)) пополняют справочную математическую литературу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1982. – 62 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.

5. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економ. думка, 2004. – 368 с.