М.П.Ленюк

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур’є – Ейлера – Бесселя на полярній осі

 

Побудуємо обмежений на множині

I = {r: r Î (R0, R1)  (R1, R2)  (R2, ¥);  R0 ≥ 0}

розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Фур’є, Ейлера та Бесселя для модифікованих функцій

                                   , r Î (R0, R1),                         

                                                               , r Î (R1, R2)       (1)

                            , r Î (R2, ¥),

за крайовими умовами

       ,                                                 (2)

         

та умовами спряження

; j, k = 1, 2.                             (3)

          У рівностях (1) беруть участь диференціальні оператори Фур’є [1] L1=d2/dr2, Ейлера [1]   та Бесселя [2] = d2/dr2 +

 

          Будемо припускати, що виконані умови на коефіцієнти:

qj>0, , ,  , ,   j,k=1,2.

          Фундаментальну систему розв’язків для диференціального оператора Фур’є            утворюють функції  та  [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера  утворюють функції  та  [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя  утворюють функції Бесселя першого роду  та другого роду  [2].

          Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом функцій Коші [1,3]:

          (4)

Тут -  функції Коші [1,3]:

                                                                                              (5)

  

Припустимо, що функція Коші

 

          Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему:

Звідси знаходимо співвідношення:

                                                                                                 (6)

Доповнимо рівності (6) алгебраїчними рівняннями:

 

                                              (7)

          Із алгебраїчної системи (6),(7) знаходимо, що

,

Цим функція Коші E1(r,ρ) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r=ρ має структуру:

                    (8)

          У рівностях (7)-(8) беруть участь функції:

Нехай функція Коші

Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему :

Звідси знаходимо співвідношення:

                                                              (9)

Доповнимо систему (9) алгебраїчними рівняннями:

                                     (10)

 

Із алгебраїчної системи (10) маємо:

          Цим функція Коші E2(r,ρ) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r=ρ має структуру:

                         (11)

У рівностях (10)-(11) беруть участь функції:

.

Нехай функція Коші

Властивості (5) функції Коші дають систему з двох рівнянь:

Звідси одержуємо співвідношення:

                                                           (12)

Доповнимо рівності(12) алгебраїчним рівнянням

                                    (13)

Із алгебраїчної системи (12),(13) знаходимо, що

                                  

          Цим функція Коші E3(r,ρ) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r=ρ має структуру:

                                (14)

У рівностях (13),(14) беруть участь функції:

  j=1,2,

          Крайова умова в точці r=R0 та умови спряження (3) для визначення величин  й  дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

 j=1,2

 j=1,2                       (15)

У системі (15) беруть участь функції

та символ Кронекера   [4].

Введемо до розгляду функції:

 j=1,2,

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1)-(3): для будь-якого ненульового вектора  визначник алгебраїчної системи (15) [4]

=

                                              (16)

          Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1)-(3): 1) породжені крайовою умовою в точці r=R0 функції Гріна

                   (17)

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

 

 

 

                                                          (18)

;

3) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

                             (19)

          У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (15) й  підстановки отриманих значень A1,A2,B1,B2,B3 у рівності (4) маємо (після  низки елементарних перетворень) єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):

                                

                        

                                      .                         (20)

          Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом інтегрального перетворення, породженого на множині  гібридним диференціальним оператором (ГДО)

                        (21)

одинична функція Гевісайда [3].

Означення: За область визначення ГДО  приймемо множину G вектор –функцій  з такими властивостями 1) вектор-функція неперервна на множині ; 2) функції  задовольняють крайові умови

                                                          (22)

3) функції  задовольняють умови спряження

 j, k = 1, 2                                (23)

          Оператор Мν,(α) самоспряжений й має одну особливу точку r = ∞ [5]. Тому його спектр дійсний та неперервний.  Можна вважати, що спектральний параметр . Йому відповідає спектральна вектор-функція

          При цьому функції повинні задовольняти диференціальні рівняння

                                     r Î (R0, R1),                         

                                       r Î (R1, R2),                           (24)

                                      r Î (R2, ∞),

          Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є  складають тригонометричні функції v1=cosb1r та U2=sinb1r [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера складають функції та  [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя  складають звичайні функції Бесселя першого роду   та другого роду .

Якщо покласти

 r Î (R0, R1)

 r Î (R1, R2),

 r Î (R2,∞),                                               (25)

то крайова умова в точці  r=R0 та умови спряження (23) для визначення шести величин  дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

                                          

                          (26)

У системі (26) беруть участь функції:

          У результаті стандартного розв’язання алгебраїчної системи (26) [4] й підстановки величин  Aj та Bj у рівності (25) маємо функції :

                                             (27).

У рівностях (27) прийняті позначення:

,

, j=1,2.

Визначимо спектральну щільність [5]

                                                 (28)

та вагову функцію [5]

,                    (29)

,    

Наявність спектральної функції , вагової функції σ(r) та спектральної щільності  дає можливість визначити пряме  й обернене  гібридне інтегральне перетворення (ГІП),породжене на множині  ГДО  :

                                   ,                        (30)

                                                     (31)

Тут  Î G(область визначення ГДО ).

          Єдиний розв’язок крайової задачі (1)-(3), одержаний за відомою логічною схемою [6] методом ГІП згідно формул  (30),(31), має структуру:

           

+  

            +

               (32)

У формулі (32) беруть участь величини та функції:

Порівнюючи розв’язки (20) та (32) в силу єдиності, одержуємо наступні формули обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО :

                           ,              (33)

                         ,           (34)

                         , ,             (35)

                         , ,           (36)

          Функції визначені формулами (19), функції Гріна визначені формулами (17), а функції Гріна  умов спряження визначені формулами (18).

          Зауваження 1. Якщо , то   . В цьому випадку , ,  і

          Зауваження 2. Якщо , то    . У цьому випадку  , ,  і

          Зауваження 3. Якщо , то  . У цьому випадку  ,  , і

          Зауваження 4. Оскільки праві частини в рівностях (33)-(36) не залежать від нерівностей , то можна покласти  звужуючи при цьому сім’ю невласних інтегралів.

          Підсумком виконаного в роботі дослідження є твердження.

          Теорема: Нехай вектор-функція  неперервна на множині , а функції задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3). Якщо при цьому виконується умова (16) однозначної розв’язності крайової задачі (1)-(3), то справджуються формули (33)-(36) обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (21).

          Відмітимо, що результати данної роботи (формули (33) – (36)) поповнюють довідкову математичну літературу [7].

 

Література:

1.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2.     Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1982. – 62 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

3.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

4.     Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина1.-Тернопіль: Економ. думка, 2004.-368с.

5.     Курош А.Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука, 1971.-432с.

6.     Ленюк М.П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтегральних перетворень (Фур’є, Бесселя,  Лежандра). Том V.Чернівці: Прут, 2005.-368с.

7.     Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.:Наука 1971.-1108с.