Садловський Р. В.

Вінницький торговельно-економічний інститут

Київського національного торговельно-економічного університету

Ризик і теорія ігор

Дану статтю присвячено взаємозв’язку невизначеності та ризику з прийняттям оптимальних рішень на основі концепції теорії гри.

Ключові слова: ризик, гра, теорія гри, гравець, платіжна функція.

Постановка проблеми. Детерміновані ситуації, коли ризик відсутній, зустрічаються дуже рідко в економічному середовищі. Більшість подій не є повністю прогнозованими, що зумовлює ризик. В економіці та бізнесі у ряді випадків, з огляду на обрані цілі, доводиться приймати рішення на підставі побудови системи гіпотез. Це правомірно, зокрема, через відсутність вичерпної, достовірної інформації, оскільки дає змогу долати таким чином невизначеність. А це переводить ситуацію невизначеності у ситуацію ризику, зокрема ризику відхилення від цілей, ризику недоотримання очікуваних результатів, ризику ймовірних збитків, які можуть виникнути через недостатню обґрунтованість тих чи інших гіпотез. Щоб урахувати ступінь ризику і бодай частково уникнути можливих збитків, необхідно, якщо є така можливість, перевірити істинність гіпотез, висунути альтернативні варіанти тощо. Уникнути негативних наслідків, спричинених ризиком, дозволяє теорія гри.

Аналіз останніх досліджень і публікацій. В сучасні роки було надруковано ряд наукових праць, присвячених проблемам економічних ризиків, прийнятті рішень в умовах ризику та невизначеності, а також, застосуванні положень теорії ігор при управлінні ризикованими ситуаціями. Питання, пов’язані із зв’язком прийняття рішень в умовах ризику та теорією ігор висвітлили в своїх працях багато науковців, зокрема Вітлінський В.В., Гранатуров В.М., Альгін О.П., Бойдел Т., Вентцель Є.С., Вілкас Е. Й., Наконечний С.І., Соколов В.А. та інші.

Метою даної статті є обґрунтування прийняття рішень в умовах ризикових ситуаціях, що базуються на концепції теорії гри, надання прикладів прийняття оптимальних економічних рішень на прикладі теорії гри.

Виклад основного матеріалу дослідження. Правила прийняття рішень в умовах невизначеності, конфліктності та зумовленого ними ризику базуються на різних концепціях. Найбільш відомою, достатньо дослідженою й широко використовуваною в теорії та на практиці є концепція теорії гри та статистичних рішень [2].

Теорія гри — це розділ сучасної математики, в якому вивчаються математичні моделі прийняття рішень в умовах невизначеності, конфліктності, тобто в ситуаціях, коли інтереси сторін (гравців) або протилежні (у випадку антагоністичних ігор), або не збігаються, хоча й не протилежні (у випадку ігор з непротилежними інтересами). Засновниками теорії гри є американські вчені Джон (Януш) фон Нейман (1903—1957), угорського походження, та Оскар Моргенштерн (1902—1977), австрійського походження. У другій половині 40-х років ХХ ст. вони спробували за допомогою математики описати характерні для ринкової економіки явища конкуренції як деяку «гру».

Гра — це формалізований опис (модель) конфліктної ситуації, що включає чітко визначені правила дій її учасників, які намагаються отримати певну перемогу шляхом вибору конкретної (в певному сенсі — найкращої) стратегії поведінки. Суб’єкт прийняття рішення (СПР) називається гравцем, а цільова функція — платіжною функцією. У грі можуть брати участь кілька гравців, причому деякі з них можуть вступати між собою в постійні або тимчасові коаліції (спілки). У випадку утворення коаліцій гра носить назву «коаліційної». Гра двох осіб називається парною грою [4].

Кожен гравець приймає такі рішення, тобто вибирає таку стратегію поведінки, щоб максимізувати свій виграш або мінімізувати програш. При цьому він не знає, яких стратегій дотримуватимуться інші гравці. Отже, кожен гравець приймає свої рішення в умовах невизначеності, а результат обраної ним стратегії залежить від поводження всіх учасників гри.

Для дослідження статистичних моделей в умовах невизначеності, конфліктності та породженого ними ризику використовують схему гри з економічним середовищем, складовими якої є:

1) перший гравець ― суб’єкт керування (СПР), вибір стратегії поведінки якого базується на множині рішень (чистих стратегій), одне з яких йому необхідно прийняти;

2) другий гравець — економічне середовище, яке може знаходитися в одному з n попарно несумісних станів які утворюють множину , й один з яких обов’язково настане;

3) відсутність у СПР апріорної інформації про те, в якому зі своїх станів знаходитиметься економічне середовище (яке рішення прийме другий гравець);

4) точне знання СПР функціонала оцінювання (матриці) , елемент якого є кількісною оцінкою ефективності результату діяльності СПР у випадку вибо-
ру ним стратегії за реалізації стану економічного середовища

Запропонована схема моделювання процесу прийняття раціонального рішення допускає таку інтерпретацію: другий гравець парної гри замінюється випадковим вибором або неусвідомлено приймаючим свої рішення економічним середовищем, а сама ситуація прийняття рішення характеризується функціоналом оцінювання F, який називають також (статистичною) матрицею гри, або платіжною матрицею.

Формально ситуація прийняття рішення згідно з теоретико-ігровою концепцією описується трійкою множин:

Цікавою, з практичної точки зору, є змішана ігрова модель, коли множина стратегій суб’єкта керування S є дискретною і може набувати скінченної кількості варіантів, а множина станів економічного середовища Q — неперервною. В цьому випадку ситуація прийняття рішень характеризується сукупністю функцій:

Доречно виділити творчу та формальну складові щодо побудови теоретико-ігрової моделі. Основні етапи творчої складової такі:

· формування множин рішень першого та другого гравців, тобто перелік чистих стратегій СПР і станів економічного середовища («природи»);

· визначення та формалізація основних показників ефективності та корисності, побудова платіжної матриці F;

· визначення (ідентифікація) наявної інформаційної ситуації, яка характеризує поведінку економічного середовища;

· вибір критерію прийняття рішення з множини критеріїв, характерних для ідентифікованої інформаційної ситуації;

· прийняття згідно з вибраним критерієм рішення із сукупності чистих або змішаних стратегій, якщо використання останніх можливе.

Окрім творчої складової, процес прийняття рішення в умовах невизначеності, конфліктності та зумовленого ними ризику вимагає досконалого володіння формальною складовою. Суть останньої полягає у використанні математичного апарату та виконанні розрахунків щодо показників ефективності, на основі яких будується функціонал оцінювання F, а також розрахунків щодо пошуку оптимальної (раціональної) стратегії або множини оптимальних (раціональних) стратегій згідно з вибраним критерієм оптимальності [1].

Перші два етапи творчої складової процесу прийняття рішення утворюють основу ігрової моделі. Відомо багато прикладів успішного застосування ігрової моделі як у сфері виробничої діяльності, так і на макроекономічному рівні.

Розглянемо приклад, який дозволяє обрати необхідний для продажу обсяг певної продукції на основі так званих, «нових» та «старих» товарів [2,3]. Нехай у нашому розпорядженні є три види «старих» товарів які надходять на ринок уже давно і попит на які добре відомий. З певного моменту в торговельну мережу починають надходити «нові» товари які можуть замінити «старі». Тобто «нові» товари зменшують попит на «старі» товари. З попередніх обстежень попиту відомі ймовірності продажу «старих» товарів у разі появи в торговельній мережі «нових» товарів. Для гри у «старі» та «нові» товари платіжна матриця разом зі значеннями та запишеться у вигляді табл. 1.1.

Оскільки

,

то гра має сідлову точку, створювану мінімаксними стратегіями та . Ці стратегії є стійкими у тому розумінні, що відхилення від них невигідне для обох гравців.

Таблиця 1.1

Гра у «нові» та «старі» товари

«Нові» товари «Старі» товари
	0,5	0,6	0,8	0,5
	0,9	0,7	0,8	0,7
	0,7	0,5	0,6	0,5
	0,9	0,7	0,8	—

Отже, на прикладі даної гри можна обрати необхідний для продажів обсяг як «старих» так і «нових» товарів, що дозволяє отримати максимальний економічний результат.

Ще одним прикладом є планування структури посівних площ [3,5]. Нехай аграрне підприємство (перший гравець) може посіяти одну з трьох культур. Його стратегії позначимо через Необхідно визначити, яку з культур сіяти, якщо за інших рівних умов урожаї цих культур залежать, головним чином, від погоди а план посіву має забезпечити найбільший дохід. Уважатимемо, що сільськогосподарське підприємство має надійний спосіб прогнозування погоди. Визначаємо для другого гравця («погода») такі стани (стратегії): — рік посушливий; — рік нормальний; — рік дощовий.

Нехай на основі досвіду відомо, що за сухої погоди з 1 га можна зняти центнерів культури за нормальної — за дощової — . Нехай також відомі ціни: — ціна 1 ц культури в умовних грошових одиницях (УГО). Приймемо, що:

;

Якщо знехтувати вартістю насіння і витратами на обробіток ґрунту, отримуємо функціонал оцінювання

тобто матрицю валових доходів підприємства від реалізації своєї продукції з 1 га за всіх можливих ситуацій. Нехай гра не має сідлової точки і перший гравець (аграрне підприємство) має хоча б одну оптимальну змішану стратегію , що визначається вектором .

Якщо — ціна гри, то для змішаної стратегії виконується нерівність:

(1.1)

Очевидно, що ціна гри (число, яке знаходиться у лівій частині нерівності (1.1)) є величиною очікуваного валового доходу з 1 га за j-го стану погоди, якщо підприємство -ту частку 1 га засіє культурою -ту частку 1 га — культурою а -ту частку 1 га — культурою

Отже, засіявши поле культурами у пропорції аграрне підприємство отримає за всіх погодних умов очікуваний валовий дохід, не менший числа Зауважимо, що очікуваний валовий дохід з 1 га за j-го стану погоди буде принципово відмінним від фактичного, який є реалізацією випадкової величини А саме, за умови реалізації j-го стану погоди, підприємство, реалізувавши змішану стратегію одержить з імовірністю фактичний валовий дохід з імовірністю — з імовірністю — Проте відповідно до закону великих чисел фактичний валовий дохід за кілька років з великою

ймовірністю дорівнюватиме очікуваному валового доходу

Викладений тут результат легко узагальнити на випадок, коли висіваються т культур, а стани погоди деталізовано. Крім того, аналогічні моделі можна побудувати для випадку, коли підприємство має можливість змінювати не лише культури, які воно висіває, а й способи (технології) обробки поля.

Розв’яжемо числовий приклад для даних, наведених у табл. 1.2.

Отже, функціонал оцінювання (матриця виграшу першого гравця) має вигляд:

.

Таблиця 1.2

Планування структури посівних площ

Стратегія першого гравця (аграрне підприємство)		Стратегія другого гравця («погода»)			Ціна за 1 ц в УГО
		Суха погода	Нормальна погода	Дощова погода
Урожайність першої культури, ц/га		20	5	15	2
Урожайність другої культури, ц/га		7,5	12,5	5	4
Урожайність третьої культури, ц/га		0	7,5	10	8

Оскільки тобто то гра не має сідлової точки, а тому оптимальна стратегія першого гравця змішана. Для знаходження такої стратегії треба розв’язати задачу лінійного програмування:

за виконання умов

де

Розв’язавши цю задачу, одержимо, що

Тобто, за решти рівних умов, засіявши 49% поля першою культурою, 40 % — другою, 11 % — третьою культурою, аграрне підприємство отримає в середньому за низку років за різних погодних умов очікуваний максимальний валовий дохід не менший 31,5 ум. од. за рік.

Висновки. На основі концепції теорії гри можливо приймати оптимальні рішення в умовах невизначеності та ризику, що дозволяє врахувати інтереси різних сторін, які прямо або опосередковано впливають на процес прийняття рішень. Так, наприклад, будь-яку економічну ситуацію можна розглядати як гру, у якій розглядаються та враховуються інтереси усіх суб’єктів прийняття рішень. Яскравими прикладами таких економічних ігор є задачі, пов’язані з вибором оптимальної кількості певного товару з поміж усього асортименту продукції, планування посівних площ, що дозволить зібрати максимально можливий врожай та отримати очікуваний прибуток.

Список використаних джерел.

1. Вітлінський В. В., Верченко П. І. Аналіз, моделювання та управління економічним ризиком: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. — К.: КНЕУ, 2000. — 292 с.

2. Економічний ризик: ігрові моделі: Навч. посібник / В. В. Вітлінський, П. І. Верченко, А. В. Сігал, Я. С. Наконечний; За ред. д-ра екон. наук, проф. В. В. Вітлінського. — К.: КНЕУ, 2002. — 446 с.

3. Івченко І.Ю. Моделювання економічних ризиків та ризикових ситуацій. Навчальний посібник. – Центр учбової літератури, 2007. - 344 с.

4. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: ИЛ, 1960. — 708 с.

5. Сявавко М. С., Рибицька О. М. Математичне моделювання за умов невизначеності. — Львів: Укр. технології, 2000. — 319 с.