МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ

НА ОСНОВЕ МНОГОСЛОЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЙ

А.Д.Пимкин, О.А.Голованов, А.М.Данилов, И.А.Гарькина

Предлагается декомпозиционный подход к математическому моделированию оптических фильтров на электродинамическом уровне строгости с учетом рассеяния электромагнитных волн на неоднородностях структур диэлектрических покрытий. Для получения многослойных диэлектрических покрытий используется метод электронно-лучевого испарения, при котором на длину поверхности покрытия в 300нм неравномерность по толщине покрытия составляет 3÷5 нм. Многослойное диэлектрическое покрытие с неоднородными по толщине слоями и его декомпозиция на автономные блоки приводится на рис.1

Рис.1. Декомпозиция многослойного диэлектрического покрытия на автономные блоки: , , - амплитуды падающей, отраженной и прошедшей волн в каналах Флоке;

- количество автономных блоков

Аппроксимация неоднородности по толщине диэлектрического слоя ступенчатая. Ступенчатая модель приближается к своему плавному прообразу по мере увеличения количества автономных блоков в плоскости входного сечения или . Область многослойного диэлектрического покрытия разбиваются условными границами на автономные блоки в виде прямоугольных параллелепипедов с диэлектрическим включением и виртуальными каналами Флоке на гранях. Автономные блоки рассматриваются как волноводные трансформаторы, для которых определяются дескрипторы. Решение задачи дифракции в целом ищется как рекомпозиция дескрипторов автономных блоков [1]. Коэффициенты отражения и прохождения оптического фильтра определяются из дескриптора автономного блока многослойного диэлектрического покрытия.

Краевая задача дифракции для определения матрицы проводимости для автономного блока с использованием тождества , формулы Остроградского-Гаусса, интегральной проекционной формы методом Галеркина сводится к системе алгебраических уравнений

где d, N, B, M, A, U – матрицы с элементами: ;

; ; ; ; .

Здесь - количество базисных функций, учтенных в объеме параллелепипеда; - количество базисных функций, учтенных на гранях параллелепипеда. Векторы , , , составлены из коэффициентов рядов Фурье , представления решения в объеме параллелепипед, , - на гранях параллелепипеда. Исключая векторы , из системы алгебраических уравнений получаем матрицу проводимости автономного блока и виде прямоугольного параллелепипеда с диэлектрическим включением и каналами Флоке на гранях:

,

где , I – единичная матрица. Матрица рассеяния может быть получена из матрицы проводимости .

В предположении нормальности распределения геометрических размеров автономных блоков строилась вероятностная имитационная математическая модель дифракции ТЕМ-волны на структуре неоднородных диэлектрических слоев оптического фильтра. Результаты моделирования приводятся на рис. 2…4.

Рис.2. Реализации случайного коэффициента пропускания двенадцатислойного отрезающего светофильтра -Si/SiO₂: 300нм;

0,320мкм; , ;

, ;

Рис. 3. Спектральная зависимость коэффициента пропускания двенадцатислойного отрезающего светофильтра -Si/SiO₂: -метод лучевой теории; - электродинамическая вероятностная модель; - эксперимент

Рис.4. Спектральная зависимость коэффициента пропускания двенадцатислойного отрезающего светофильтра -Si/SiO₂ в логарифмическом масштабе:

-метод лучевой теории; - электродинамическая

вероятностная модель; - эксперимент

Метод лучевой теории дает более широкую полосу непропускания (1,0÷1,8мкм), чем электродинамическая вероятностная модель и эксперимент (1,0÷1,8мкм).

Электродинамический вероятностный подход к математическому моделированию многослойных диэлектрических покрытий дает большие возможности для практики проектирования и изготовления оптических фильтров, чем метод лучевой теории, и позволяет учитывать возможности современных технологий изготовления многослойных диэлектрических покрытий.

Литература

1.Голованов О. А. Автономные блоки с виртуальными каналами Флоке и их применение для решения прикладных задач электродинамики / О.А. Голованов // Радиотехника и электроника. – 2006 - Т.51. - №12. - С.1423-1430.