Математика / 4.Прикладная математика
Таджигитов
А.А., Климов Е.В., Дуткин М.А.
Северо-Казахстанский
государственный университет им. М.Козыбаева, Республика Казахстан, г.
Петропавловск
Понятие максимальной функции и
максимального неравенства возникли в 30-40 г.г. ХХ века. С того времени максимальные
неравенства постоянно исследовались и дополнялись новыми сведениями. С помощью
максимальных функций можно решить некоторые задачи математического анализа,
функционального анализа, математической физики. С этим понятием связаны имена
многих известных ученых: Харди Ж. Г., Литтлвуд Ж.Е., Стейн И. и др.
По определению
максимальная функция задается следующим равенством:
,
здесь – шар радиуса
с центром в точке
и
– его мера. Иногда
такую функцию называют максимальной функцией Харди-Литллвуда. Функция
может быть
неограниченной для любого
. Рассмотрим основную теорему о максимальной функции. Эта
теорема для
впервые доказана
Харди и Литтлвудом, а
-мерный вариант – Винером.
Теорема 1. Пусть
функция определена на
.
а) если , где
, то функция
почти всюду конечна;
б) если , то для любого
:
, где
– константа,
зависящая только от размерности
(например, можно
положить
);
в) если , где
, то
и
, где
зависит только от
и размерности
.
Следствие. Если ,
, или, в более общем случае, если
локально суммируема,
то
для почти всех
.
Теорема 1 доказывается
при помощи леммы Витали или леммы о покрытиях [1, 35 стр.].
Рассмотрим
максимальную функцию как максимальный оператор и докажем ограниченность этого
оператора. Оператор рассмотрим в
следующем виде:
.
Здесь имеет место следующая
теорема:
Теорема 2.
Оператор для
будет ограниченным.
Доказательство. Действительно,
если и
, тогда
и
.
Из этого
неравенства следует ограниченность оператора в пространстве
.
До этого момента
рассматривалось пространство для
. А какими свойствами обладает максимальная функция для
?
В этой связи справедлива
следующая теорема:
Теорема 3. Пусть , где
, тогда
и не выполняется
неравенство
.
Доказательство. Определим
функцию в следующем виде:
, если
и
в противном случае.
и
, где
. Если
, тогда
.
Это утверждение
доказывается при помощи теоремы вложения для пространства . Действительно, если
и
, то
и
, тогда
, но
.
При неравенство не
выполняется. Теорема 3 доказана.
Пример. Пусть . В качестве шара
с центром в точке
радиуса
рассмотрим отрезок
на прямой
.
Зададим
функцию следующим образом:
, где
– некоторая
постоянная величина. Тогда
.
Решение. Найдем
максимальную функцию функции
по формуле
.
Так как , то
. Тогда
,
.
1. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и
дифференциальные свойства функций. – М.: «Наука», 1973. – 342 с.
2. Буренков В.И.
Функциональные пространства. Пространства Lp.
– М.: «Наука», 1987. – 92 с.