Лебедев Е.П.

Белорусский национальный технический университет, г. Минск

ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ В ТММ

Математическое моделирование в настоящее время находит широкое применение в исследованиях и разработках различных задач. С его помощью создаётся возможность наиболее полного исследования объекта.

При решении задач ТММ мы наблюдаем сложные законы движений. Их расчёты весьма трудоёмки, поэтому математическое моделирование должно существенно упростить процесс решения задач.

Так как механизмы ТММ (например, кулачок) совершают сложные колебания их в большинстве случаев лучше описать функцией, представляющей собой сумму ряда простых гармонических колебаний (рядом Фурье):

,

где k – номер гармоники,

.

Нами были построены модели для ряда движений толкателя для ускорения, скорости и пути перемещения. Расчеты производились по специально разработанной программе.

Полученные в результате расчетов коэффициенты рядов Фурье приведены в таблице 1.

Таблица 1

Гармоники	S (путь)		(скорость)		(ускорение)
	ak	bk	ak	bk	ak	bk
1	-0,0154	0,002	-0,0048	0,0386	0,104	0,0135
2	0,0009	0,0008			-0,00165	-0,0257
3	0,0006	-0,0003			-0,0258	-0,0005
4	-0,00012	-0,00027			-0,0157	0,01929
6	-0,0016	0,00006			-0,004	0,0022
8	0,00002	-0,00016
11	-0,00017	0,00006
12	0,000078	0,00002
А0	0		-0,00012		0

Описание ускорения осуществлялось по единой кривой.

Построенные модели довольно близки к фактическим данным и хорошо их описывают.

Учитывая сложность графика ускорения, мы его описали ещё и комбинированным методом с использованием корреляционно–регрессионного анализа (для первой половины графика ) и ряда Фурье (для второй половины ). В результате были получены следующие модели ускорения толкателя:

, где ; , , R=0.9

Соответствующее описание скорости рядом Фурье по выделенным участкам имеет числовые значения коэффициентов, приведенных в таблице 2.

Таблица 2

Гармоники	(скорость)		(скорость)
	ak	bk	ak	bk
1	-0,0172	-0,0043	0,025	0,0061
2	-0,0034	-0,002	-0,0013	-0,00061
3	-0,0011	-0,0011
4	-0,00035	-0,00045	-0,00045	-0,00065
5	-0,0001	-0,00036
6	-0,00018	-0,00002
	А0=0,0224		А0=-0,0227

Расчетные значения скорости очень близки к экспериментальным.

Известно, что с помощью дифференцирования осуществляется переход от пути к скорости и ускорению. Нами было выполнено исследовании по обратному переходу, т.е. от модели ускорения к скорости и от скорости к пути перемещения толкателя. Установлено, что такие перемещения можно выполнить с помощью формул:

, где (1)

, где (2)

Расчетные значения и по формулам (1) и (2) получаются близкими к экспериментальным. Графики этих функций, рассчитанных по формулам (1), (2) и по ряду Фурье совпадают по форме и очень близки друг к другу.

Литература

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. М:Высшая школа 1973-500с.