Кудайкулов А.К., Атантаева С.А.

Евразийский национальный университет им. Л.Гумилева, Казахстан

Решение задачи термо-напреженного состояния защемленного двумя концами теплоизолированного стержня при воздействии теплового потока и теплообмена

    В работе на основе закона сохранения энергии в сочетании применения апроксимационных сплайн функции построена аналитическое решение установившейся задачи теплопроводности и термо-напряженного состояния для стержня ограниченной длины, боковая поверхность которого теплоизолирована. На площадь поперечного сечения левого конца подведен тепловой поток, а через правого конца происходит теплообмен с окружающей средой.

  Рассмотрим горизонтальный полный стержень ограниченной длины l [см]  . ось ох направим слева на право которая совпадает с осью стержня . Площадь поперечного сечения стержня обозначим через F [см2] и считаем постоянной по всей длине, материал стержня характеризуется коэффициентом теплопроводности  Kxx [Вт /(см2 ◦С ], коэффициентом теплового расширения α [1/◦ С]  и модулем упругости  Е .

   Боковую поверхность стержня считаем теплоизолированной.  Пусть на площадь поперечного сечения левого конца стержня подведен тепловой поток постоянной интенсивности . Через площадь поперечного сечения правого конца стержня происходит теплообмен с окружающей этой площадью средой. При этом коэффициент теплообмена , а температура окружающей среды

Требуется:

1) Для рассматриваемого стержня необходимо определить поле распределения температуры с учетом всех имеющихся факторов

2)  Если левый конец стержня жестко - защемлен, а правый свободен, то необходимо определить величину удлинения рассматриваемого стержня

3)  Если оба концы стержня жестко-защемлены, то необходимо определить поле распределения упругих, температурных и термо-упругих составляющих деформации и напряжении, а также величину сжимающего усилия.

Для решения поставленной задачи, сначала рассмотрим расчетную схему (рис-1)

           

                                                                                                       

Для рассматриваемой задачи построим функционал полной тепловой энергии

                                                                                                    (1)

где  площадь поперечнoго сечения левого и правого концов стержня соответственно; V- объем стержня

С учетом физической специфики задачи поле распределения температуры по длине стержня аппроксимируем полным полиномом второго порядка

                                                      (2)

Теперь введем следующие обозначения

                                                                                                  (3)

Кривая,  которая описывается (2) приводится на (рис-2)

 

      

 

 

Рисунок 2.  Апроксимация поле распределения температуры

 Пользуясь (3) из (2) получим следующую систему уравнении

                                                                                                (4)           

Отсюда  определим

 

                                                                                                           (5)

 

Теперь подставляя значения а1, в1,с1  (2) находим, что

                                                                                                                           ( 6)                                                                                          

Где  – аппроксимационные сплайн функции которые имеют следующий вид

                                                                                          (7)

Эти функции имеют следующие свойства :

; ;

                                                                                                                           (8)

Эти свойства сплайн функции обеспечивает непрерывности поле распределения температуры по длине стержня. Пользуясь соотнашениями (6-7)находим выражение градиента температуры

                          (9)

Теперь вычислим отдельно интегралы в выражении

                                                                                                                         (11)                                                                                    

                                                                                                                       (12)

Теперь подставляя (10-12) в (1) находим интегрированный вид функционала J.

                                                                                                  (13)

По закону сохранения энергии при правильных значениях узловых температур      функционал   достигает своему минимуму [1-2]. Отсюда  получим  следующую разрешающую систему уравнении

1)     

2)         

3)     (14)                                      

Здесь следует отметить, что  в этой системе сумма коэффициентов при температуре будет равно нулю, т.е.

1)    (14-16+2)=0

2)     (-16-16+32)=0

3)     (2-16+14)+Fh-Fh=0                                                                              (18)

Эти равенства являются признаками выполнения закона сохранения энергии, т.е.  полученная разрешающая система уравнении являются правильными и они адекватно описывают исследуемый процесс.

Отсюда определим    

                                                                                     (15)

      Теперь подставляя найденные значения  Ti, Tj ,Tk  в выражения (6) после соответствующего упрощения получим закон распределения температуры по длине исследуемого стержня

                           (16)                               Где                                                                       (17)                                                                                                                         

Из (16)  видно что закон распределения температуры по длине исследуемого стержня будет линейный. Хотя в начале мы эти распределения  аппроксимировали полным полиномом второго порядка.

Таким образом, видно, что применение закона сохранения энергии приводит самокорректировке получаемых решении.

  Теперь переходим к решению второго этапа задачи т.е  определим величину удлинения стержня за счет поле распределения температуры по длине .

По основному закону термодинамики удлинение стержня за счет поле распределения температуры определяетя следующим образом

 

                                                                                                                          (19)

Но в общем случае коэффициент теплового расширения материала стержня зависит от температуры ,т.е Предполагая, что для некоторых материалов значение  при определенных интервалах температуры можно принимать постоянной величиной из (19) и (16) получим

                                                                                                                         (20)

Если,  будет зависеть от температуры, то эта зависимость для каждого материала определяется отдельно эксперементальным путем.

Но в этом случае удлинение стержня определяется по формуле        (19)

Теперь предпологая, что обе концы стержня жестко-защемленной переходим к решению 3-го этапа задачи. В этом случае из-за поле распределения температуры стержень не может удленяться, но возникает сжимающее усилия термонапряженное состояния.

Этот этап задачи можно решать двумя методами

1-й метод решения задачи

      В этом случае для защемленного двумя концами исследуемого стержня напишем выражение потенциальной энергии упругих деформации с учетом наличия поля распределения температуры

                                                                                                                         (21)

Где  -  поле пере перемещения;  - поле упругих составляющих деформации;   - поле температурных составляющих деформации;  - поле термо-упругих составляющих деформации;  - упругих   температурных и термо-упругих составляющих деформации.

         По аналогии поле распределения перемещения  в пределах длины стержня аппроксимируем полным полиномом второго порядка. Тогда имеем, что

                                       

                                                                                                                 (22)                                                                                                                                                                                               

                                                                                (23)

 Тога градиент перемещения в пределах длины стержня определяется по формуле

                        (24)

         Теперь учитывая по формуле     из (21) получим интегрированный вид потенциальной энергии упругих деформации при наличии поле температуры

                                                                         (25)     

         Теперь учитывая, что обе концы рассматриваемого стержня жестко-защемлена то ()  будем минимизировать функционал П только по

                                                                                   (26)

   Отсюда определим

         Найденное значение подставляя  в (22) и учитывая, что   получим закон распределения перемещения по длине исследуемого стержня

                                          ( 28)

         Далее по соответствующиму соотнашению Каши определяется поле упругой составляющей деформации

                                                    (29)

По соответствующему закону Гука определяется поле распределения упругой составляющей напряжения

)                                                                             (30)

Исходя из общих законов термоупругости определяются поле температурных составляющих деформации и напряжении [4].

                             (31)

                           (32)

         Тогда термо-упругие составляющие деформации и напряжения определяются в соответствии с общим законом Гука

                                                       (33)

                                                                                       (34)

         Тогда величина возникающего сжимающего усилия определяет согласно общему закону Гука [4], следующим образом

                                                                                          (35)

         Теперь эту же задачу прорешим вторым методом

2-метод решения задачи

Этод метод основана на пременения условия совмесности деформации.

Для этого сначало рассмотрим защемленный только левым концом стержень, а правый свободен( рисунок-3)

3.jpg

Рисунок 3- защемленный левым концом стержень.

         Этот стержень, за счет теплового расширения удленняется на величину

 =

                                                                                                               

Теперь рассмотрим защемленный левым концом стержень, но сжатой силой R (рис-4)

4.jpg

Рис-4. Сжатый стержень.

В этом случае сжатый стержень укарачивается,на величину  [4].

                                                                                                      (37)

Если обе конца стержня жестко-защемлены то она не может удленняться, или укорачивается  т.е

=0                                                                                                  (38)

Отсюда  определим R

                                                         (39)

Она совпадает с (35)

Из (39) согласно закону Гука можно определить термо-упругую составляющую напряжения

       (40)

Здесь (40) совпадает с (34). Соответствующая составляющая деформация определяется согласно закону Гука                                                   (41)

Температурное соcтоавляющее    деформации и напряжения определяются согласно (31-32). Тогда упругие составляющие определяются согласно общему закону  Гука

 

                                                                                                      (42)

Эта формула совпадает с (29).

Тогда упругая составляющая напряжения определяется также согласно закону Гука

                                                       (43)

Это выражение  совпадает с (30)

В целях иллюстрации данного метода построим графики искомых величин при следующих искомых данных

                                   ,     

При этих исходных данных поле распределения температуры,перемещения, составляющие деформации и напряжения приводятся на рисунках – 4, a-r..

Из этих рисунков также видно, что поле распределения  T(x), имеют линейный характер. В то время поле распределения перемещения  имеет нелинейный  относительно серединного сечения стержня имеет симметричный характер. Также следует отметить  что  и постоянна по всей длине стержня.

         В целях исследования сходимости и точности полученных решении дискретизированна исследуемый стержень 2,4,8,...100 квадратными элементами. Но во всех случаях были получены одни и те же результаты. Это еще раз показывает, что полученные аналитические решения являются точными. Вследствии чего, мы ещё раз убедились, что применения фундаментальных законов сохранения энергии позволяют решать любые смешанные задачи с разнородными граничными условиями. При этом полученные решения всегда будут отличатся большой точностью.

 a) б)

 

в)

г)

Риисунок -4. Поле распределения, перемещения, температуры, составляющих напряжений и деформации.

 

Литература

1.     Седов Л.И. Механика сплошных сред. М.1970

2.     Ноздрев В.Ф. Курс термодинамики. М.1967.

3.     Биргер И.А. Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость колебания. Справка  в 3 томах.М:Машиностроение. 1968. 831 с.

4.     Тимощенко С.П.,Гудьер Дж.Теория упругости. М.Наука. 1979. 560 с.