Математика
1. Дифференциальные и интегральные уравнения
Шилинец В.А., Трафимович Ю.В.
Белорусский государственный
педагогический университет
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ряде работ при помощи гиперкомплексных
функций, моногенных в смысле В.С. Фёдорова (F–моногенных)
, исследовались некоторые системы дифференциальных уравнений
в частных производных. В данной работе с помощью двойных F–моногенных функций решена краевая
задача для одной системы дифференциальных уравнений в частных производных второго
порядка.
Пусть ,
– однозначные функции
класса
. Через
обозначаем класс
функций от независимых переменных
,
, которые имеют в односвязной области
непрерывные частные
производные до порядка
включительно. Считаем
эти функции действительными или комплексными, или гиперкомплексными. В
последнем случае предполагаем, что значения этих функций в области
являются элементами
какой-нибудь ассоциативной и коммутативной алгебры с единицей над полем комплексных
чисел.
Предполагаем, что в
области существует
, где
.
Как известно , при этих условиях формальными производными
,
функции
называются функции от
и
, определяемые в области
следующим образом:
,
. (1)
Пусть . Тогда можно определить формальные производные
,
,
,
второго порядка:
,
,
,
. (2)
Исследуем систему
дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
,
, (3)
где ,
– искомые комплексные
функции класса
,
. Рассмотрим следующую краевую задачу: найти в односвязной
области
решение системы
дифференциальных уравнений в частных производных (3), если известны решения
этой системы на границе области
– кривой
.
Пусть ,
,
,
,
. Тогда из определений формальных производных (1) и (2)
получаем, что система (3) эквивалентна уравнению
.
(4)
Найдём общее решение
уравнения (4). Обозначим через искомое решение.
Полагаем
и получим
, т.е.
– произвольная
функция, моногенная в смысле В.С. Фёдорова по функции
в области
. Возьмём функцию
. Так как
, то
. Откуда следует
, где
,
– произвольные
моногенные в смысле В.С. Фёдорова по функции
функции.
Как известно , двойная функция
,
F–моногенная по
функции , имеет вид:
,
где
– комплексная функция,
аналитическая от
в области
. Учитывая это, получаем решение системы (3):
,
,
где ,
– произвольные
функции, аналитические от
в области
.
Будем считать, что ,
. Тогда решение системы (3) примет вид:
,
. (5)
Отсюда получаем, что
,
.
Функции ,
известны на границе
области
. Тогда произвольная аналитическая от
функция
будет известна на
кривой
. Воспользовавшись классической формулой Коши для комплексной
функции
по комплексной
переменной
, а для функции
по переменной
, мы найдём значения функций
,
внутри области
по их значениям на
границе этой области. Тогда из равенств (5) определим функции
и
, удовлетворяющие условиям краевой задачи.
Литература
1. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Метод
формальных производных для решения задачи Коши для одной системы дифференциальных
уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения, 1993. – Т. 29,
№ 11. – С. 2019 – 2020.
2. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Решение
задачи Коши для одной системы дифференциальных уравнений методом F – моногенных функций // Весці
НАН Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук, 1993. – № 3. –
С. 108 – 110.
3. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Решение
краевой задачи для одной системы дифференциальных уравнений в формальных
производных // Весці НАН Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук, 1999. – № 3. – С. 127 – 128.
4. Stelmashuk N.T., Shylinets V.A. The solution of the boundary value problem for a system of equations in formal derivatives by means of dual differential operators // Труды института математики НАН Беларуси,
2004. – Т. 12,
№ 2. – С. 170 – 171.
5. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Об
интегральном представлении функционально-инвариантных вектор-аналитических
функций // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. четвёртой Всерос.
научн. конф. Ч. 3.: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. – Самара: СамГТУ,
2007. – С. 172 – 174.
6. Фёдоров В.С. Основные свойства
обобщённых моногенных функций // Известия вузов. Математика, 1958. – № 6. – С.
257 – 265.
7. Гусев В.А. Об одном обобщении
ареолярных производных // Bul. Stiint. si
tehnical inst. Pol. Timisoara, 1962. – T. 7, fasc. 2. – P. 223 – 238.
8. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. О
структуре F – моногенных двойных функций // Весці АН БССР. Сер. фіз.-мат.
навук, 1988. – № 2. – С. 121.