Математика

1. Дифференциальные и интегральные уравнения

Шилинец В.А., Трафимович Ю.В.

Белорусский государственный педагогический университет

РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В ряде работ при помощи гиперкомплексных функций, моногенных в смысле В.С. Фёдорова (F–моногенных) , исследовались некоторые системы дифференциальных уравнений в частных производных. В данной работе с помощью двойных F–моногенных функций решена краевая задача для одной системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

Пусть , – однозначные функции класса . Через обозначаем класс функций от независимых переменных , , которые имеют в односвязной области непрерывные частные производные до порядка включительно. Считаем эти функции действительными или комплексными, или гиперкомплексными. В последнем случае предполагаем, что значения этих функций в области являются элементами какой-нибудь ассоциативной и коммутативной алгебры с единицей над полем комплексных чисел.

Предполагаем, что в области существует , где .

Как известно , при этих условиях формальными производными , функции называются функции от и , определяемые в области следующим образом:

, . (1)

Пусть . Тогда можно определить формальные производные , , , второго порядка:

,

,

,

. (2)

Исследуем систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

, , (3)

где , – искомые комплексные функции класса , . Рассмотрим следующую краевую задачу: найти в односвязной области решение системы дифференциальных уравнений в частных производных (3), если известны решения этой системы на границе области – кривой .

Пусть , , , , . Тогда из определений формальных производных (1) и (2) получаем, что система (3) эквивалентна уравнению

. (4)

Найдём общее решение уравнения (4). Обозначим через искомое решение. Полагаем и получим , т.е. – произвольная функция, моногенная в смысле В.С. Фёдорова по функции в области . Возьмём функцию . Так как , то . Откуда следует , где , – произвольные моногенные в смысле В.С. Фёдорова по функции функции.

Как известно , двойная функция ,
F–моногенная по функции , имеет вид:

,

где – комплексная функция, аналитическая от в области . Учитывая это, получаем решение системы (3):

,

,

где , – произвольные функции, аналитические от в области .

Будем считать, что , . Тогда решение системы (3) примет вид:

,

. (5)

Отсюда получаем, что

, .

Функции , известны на границе области . Тогда произвольная аналитическая от функция будет известна на кривой . Воспользовавшись классической формулой Коши для комплексной функции по комплексной переменной , а для функции по переменной , мы найдём значения функций , внутри области по их значениям на границе этой области. Тогда из равенств (5) определим функции и , удовлетворяющие условиям краевой задачи.

Литература

1. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Метод формальных производных для решения задачи Коши для одной системы дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения, 1993. – Т. 29,
№ 11. – С. 2019 – 2020.

2. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Решение задачи Коши для одной системы дифференциальных уравнений методом F – моногенных функций // Весці НАН Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук, 1993. – № 3. –
С. 108 – 110.

3. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Решение краевой задачи для одной системы дифференциальных уравнений в формальных производных // Весці НАН Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук, 1999. – № 3. – С. 127 – 128.

4. Stelmashuk N.T., Shylinets V.A. The solution of the boundary value problem for a system of equations in formal derivatives by means of dual differential operators // Труды института математики НАН Беларуси, 2004. – Т. 12,
№ 2. – С. 170 – 171.

5. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Об интегральном представлении функционально-инвариантных вектор-аналитических функций // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. четвёртой Всерос. научн. конф. Ч. 3.: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. – Самара: СамГТУ, 2007. – С. 172 – 174.

6. Фёдоров В.С. Основные свойства обобщённых моногенных функций // Известия вузов. Математика, 1958. – № 6. – С. 257 – 265.

7. Гусев В.А. Об одном обобщении ареолярных производных // Bul. Stiint. si tehnical inst. Pol. Timisoara, 1962. – T. 7, fasc. 2. – P. 223 – 238.

8. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. О структуре F – моногенных двойных функций // Весці АН БССР. Сер. фіз.-мат. навук, 1988. – № 2. – С. 121.