Философия (6)
Семеняко А. Н.
Аспирант кафедры прикладной математики и информатики
Белорусского государственного педагогического университета им. М. Танка
Проблема
соотношения конечного и бесконечного и её методологическое значение во
взаимодействии непрерывной и дискретной математики
Проблема соотношения
конечного и бесконечного является значимой для рассмотрения с точки зрения
структурного исследования материи, её свойств и пространственно-временных
характеристик, как для философии, так и для науки в целом. В исследовании
категорий прерывности и непрерывности, тесно связанных с проблемой соотношения конечного и
бесконечного, особый интерес вызывает методологический аспект, так как в
математике понятия непрерывности и прерывности не абсолютны. Следовательно,
строгого разделения классической и дискретной математики не существует, а
значит, в соответствии с диалектической логикой взаимодействие непрерывной и
дискретной математики составляет непосредственную реализацию методологического
значения проблемы соотношения конечного и бесконечного.
Для рассмотрения генезиса
проблемы конечного и бесконечного обратимся к античной философии. Характерной
чертой натурфилософов было выделение единой субстанции. Так Фалес в качестве
таковой выделяет воду, Анаксимен – воздух, а Гераклит – огонь. Но уже у
Анаксимандра в качестве субстанции понимается не конкретное вещество, а
некоторая беспредельная и неопределенная материя – апейрон. Дальнейшее развитие
философии было обусловлено тем, что важнее не просто выделить какую-то субстанцию,
т.е. материальную основу вещей, а скорее описать её устройство.
Таким образом, в
объяснении строения материи открылись два пути:
1. Необходимость признать, что материя
имеет однородное и непрерывное строение, т.е. каждая часть, как бы мала она ни
была, должна обладать теми же свойствами, что и большая по размерам;
2. Необходимость признать, что материя
расчленена на множество образований, каждое из которых обладает иными
свойствами, чем обычные тела [1, с. 9-10].
Одним из первых представителей
бесконечной делимости является Анаксагор, который говорит о ничтожных частицах,
заключающих в себе целый мир. Основоположники же атомизма (хотя и в древних
философских школах Индии и Китая мы находим упоминание о бесчисленных
мельчайших частицах) – Левкипп и Демокрит, которые считали, что материя делима
лишь до определенного предела. Демокрит говорит о Млечном Пути как о множестве
звезд, которые удалены от нас, поэтому их свет сливается. «По аналогии с этим
он говорит, что и другие сущности, которые кажутся нам непрерывными, на самом
деле состоят из множества дискретных тел. Морской песок кажется, нам издали
сплошной массой, но в действительности он образован из огромного числа
песчинок. И совершенно естественно предположить, что и вода в море может быть
составлена из частиц, еще более мелких» [1, с. 11].
В связи с тем, что
Левкипп, Демокрит и их последователи (Эпикур, Лукреций Кар) не указали точной
границы делимости, элеаты выдвинули логические обоснования противоположного
направления. Так Зенон с идущей от Парменида идеей о едином вечном бытии указал
на новые аспекты проблемы конечного и бесконечного.
«В своих рассуждениях
Зенон исходил из двух основных посылок, которые принимались как самоочевидные в
античной философии:
1. Сумма бесконечно большого числа
конечных и протяженных величин, как бы малы они ни были, является бесконечно
большой величиной.
2. Сумма любого, сколь угодно большого
числа непротяженных величин равна нулю» [1, с. 13].
Исходя из этих истин,
Зеноном были сформулированы апории, основывающиеся на логическом
доказательстве. Учитывая этот аспект, они превращались в парадоксы. Согласно
этому можно сделать вывод о неспособности метафизического метода разрешить
данные парадоксы мышления, что возможным станет только при помощи диалектики.
Заслуга Зенона в вопросе о соотношении конечного и бесконечного состоит в том,
что в своих парадоксах он указал на возникающие противоречия данного
соотношения в вопросах движения.
Аристотель же отрицал
атомистическую концепцию. Он признавал первичными сущностями четыре элемента:
огонь, воду, воздух и землю. Также допускал существование нематериальной
сущности – эфир. Эти воззрения господствовали вплоть до XVII века.
Идеи античных философов
имеют большое значение для дальнейшего рассмотрения проблемы соотношения
конечного и бесконечного. Вопросы, которые определили атомисты и сторонники
противоположного подхода бесконечной делимости, еще долго будут интересовать
ученых и философов.
Теория эфира (теория
близкодействия) получает широкое распространение в XVII – XVIII веке. Большую роль сыграл в этом
Декарт. Ценность теории эфира в первую очередь определяется тем, что она
является попыткой разрешения проблемы единства прерывности и непрерывности.
Эфир, как совершенно непрерывное вещество, не оказывает никакого сопротивления движущимся
частицам. Однако в связи с расплывчатостью теории близкодействия в её описаниях
и формулировках не теряет своей силы и теория дальнодействия, основанная на
гравитационных, электростатических и магнитных взаимодействиях (Ньютон, Кулон).
Для рассматриваемой
проблемы соотношения конечного и бесконечного физика XVIII-XIX века приводила к тому, что
представители атомизма не настаивали на абсолютной неделимости дискретных
частиц. А Декарт и Ньютон даже допускали и определенную непрерывность. Радикализм
античности между двумя подходами постепенно стирается с последовательным
углублением в исследовании проблемы соотношения конечного и бесконечного.
Следует рассмотреть
некоторые положения Лейбница в связи с исследованием проблемы соотношения
конечного и бесконечного. Мыслитель выделяет первичную природную субстанцию,
которая составлена из множества монад. Монада – это некоторая духовная
сущность, часть первичной субстанции, которая абсолютно проста и неделима:
«Монада есть простая субстанция, которая входит в состав сложных; простая,
значит, не имеющая частей» [2, с. 413]. Главной отличительной чертой монады от
атома является её неповторимый внутренний мир. Каждая монада не похожа друг на
друга. Монада также в отличие от атома абсолютно неделима. И так как монада не
обладает протяженностью («А где нет частей, там нет ни протяжения, ни фигуры и
невозможна делимость» [2, с. 413]), то Лейбниц считает, что пространство – это
смешанное субъективное представление. Монада одушевлена, «живое зеркало
Вселенной». Именно индивидуальность в монаде является возможностью
бесконечного. Лейбниц описывает также триадичную иерархию монад (неорганическая
природа; растительный и живой мир; человеческие души). Над всем миром стоит
бог: «…Бог абсолютно совершенен, т.к. совершенство есть не что иное, как
величина положительной реальности, взятой в строгом смысле, без тех пределов,
или границ, которые заключаются в вещах, ею обладающих. И там, где нет никаких
границ, т.е. в Боге, совершенство абсолютно бесконечно» [2, с. 420]. Ценность
монадологии Лейбница заключена в глубокой и тонкой диалектике конечного и
бесконечного. Следует отметить, что из-за иносказательности и особенного языка
описания, часто взгляды Лейбница недооценивались, хотя они не потеряли своей
актуальности и сегодня.
Научные открытия XIX – XX века привнесли с собой в понимание
соотношения конечного и бесконечного опровержения старых теорий и вместе с тем
и новый взгляд на проблему. Так относительно проблемы прерывности и
непрерывности теория электромагнитного поля Максвелла показала, что
электромагнитное поле обладает непрерывной структурой. Непрерывность также
проявляется и в том, что проникают друг в друга поля различной природы
(гравитационные и магнитные) и их уже нельзя разделить механическим путем.
Теория относительности Эйнштейна показывает отсутствие всепроникающей мировой
среды и абсолютной системы отсчета в природе. Далее, опираясь на открытие
Планка, было установлено, что «световой поток выступает одновременно как
единство противоположностей - частиц и волн» [1, с. 33]. Квантовая теория не
опровергает целиком и полностью классические постулаты физики, а дает понять,
что классика играет весомую роль в макромире, в то время как квантовая теория –
в микромире соответственно.
В рассмотрении нашей
проблемы нельзя недооценить роль диалектического материализма. Согласно
диалектическому материализму каждый материальный объект – это единство
конечного и бесконечного, имеющее конкретные проявления. Конечное составляет
границы тела в пространстве и времени. Однако конечное может выходить за
пределы, становясь при этом бесконечным. Каждый предмет существует в
определенном отрезке времени. «Таким образом, конечное представляет собой форму
существования бесконечного, которое находит через конечное свое конкретное
проявление» [1, с. 39]. Именно в диалектическом взаимодействии конечного и
бесконечного видится методологическое
значение рассматриваемой проблемы.
В продолжение
описания проблемы конечного и
бесконечного следует обратиться и к вопросу о прерывности и непрерывности. Если
античность поставила проблему прерывности-непрерывности, то разрешить её пыталась
наука. Атомистическая концепция благодаря своему авторитету в естествознании долгое
время не давала возможности ученым выделить в природе черты непрерывности.
Однако открытия конца XIX начала XX века заставили ученых объединить свойства прерывности и
непрерывности: единство частиц и полей, корпускулярно-волновых свойств.
Проблему единства прерывности и непрерывности
следует рассмотреть через пространственно-временные характеристики материи,
т.к. согласно диалектическому материализму последняя не может существовать вне
пространства и времени и наоборот. В науке и философии существует две концепции
пространства и времени (субстанциальная, реляционная). В субстанциальной
концепции (Демокрит, Ньютон) опять-таки абсолютизируются свойства прерывности и
непрерывности. Пространство здесь понимается как «абсолютная пустота, вместилище
вещей и явлений, а время – как бесконечный поток состояний и событий» [3, с.
108]. В реляционной же концепции (Аристотель, Лейбниц, Эйнштейн) пространство и
время – это система отношений. Они не автономны, а атрибутивны. Реляционная
концепция достаточно популярна в современной физике (квантовая механика,
квантовая теория поля, теория относительности и т.д.). Так, в отличие от
твердых и жидких тел, обладающих определенной формой, поле характеризуется
непрерывным распределением, в связи с чем нельзя сказать, где заканчивается
действие поля. Дискретные же свойства поля проявляются во взаимодействиях с
частицами и в его вакуумном состоянии при образовании новых частиц. В
современной науке происходит диалектическое объединение свойств прерывности и
непрерывности. Если дискретная математика отказывается от понятия
непрерывности, то классическая, как правило, напротив, абсолютизирует его.
Современная математика в соответствии с диалектическим методом лишь условно
разделяет упомянутые области, в ней выявляются очевидные черты взаимодействия
непрерывной и дискретной математики.
Обратимся сначала к
истокам человеческого общества. Стоит заметить, что первобытная математика в
большинстве своем была дискретной. Именно здесь, у самого истока
математического знания, и проявляется первое взаимодействие непрерывного и
дискретного: непрерывное расстояние измеряется шагами. Интересно заметить, что
при дальнейшем развитии математики описанное выше взаимодействие выражается в
дроби. Дробь, как известно, - это отношение целых чисел. А появилась она при
измерении непрерывных величин: длин, площадей, объемов. А вот еще несколько
примеров. В странах Древнего Востока составлялись различные таблицы при расчете
траекторий и периодов обращения тел (замена непрерывного движения его дискретным
аналогом). В III веке
н.э. китайский математик Лю Хуэй вычислил площадь круга с помощью
последовательности площадей вписанных многоугольников, тем самым, используя в
неявном виде понятие предела. Это позволило ему рассчитать число 
.
Весомым философским
основанием связи прерывной и непрерывной математики являются доводы Аристотеля.
Он рассматривал две категории величин: «раздельные» (числа) и «сплошные»
(длина, площадь, объем). Он противопоставлял дискретную природу чисел непрерывному
изменению наблюдаемых в природе величин. Интересно то, что геометрия для
Аристотеля – это наука о непрерывных величинах, в то время как арифметика – о
дискретных. Именно по этому основанию он и проводит между ними различия.
Стоит отметить также
вклад Демокрита в решение проблемы. Он пытался связать непрерывное с
дискретным. Точки он представлял как атомы пространства, имеющие конечный
объем. Из атомов по Демокриту состоят о фигуры. Поэтому, вычисляя объем конуса,
он разбивал его на атомные слои. Этот способ позднее ляжет в основу
интегрального исчисления в математике.
Подобные методы
использовал в своих исследованиях
Архимед (для вычисления объёмов тел вращения) и Евклид (для вычисления
площадей фигур).
Значительный толчок
получила математическая мысль в начале XIV века. И связано это было с вопросом
о строении континуума. Однако данный вопрос решался математиками неоднозначно.
С одной стороны, сторонники Аристотеля утверждали, что континуум состоит не из
атомов, а из бесконечно делимых частей. Противники же считали, что он состоит
из конечного числа неделимых частей.
Интересный взгляд на
проблему прерывности и непрерывности продемонстрировал Лейбниц. Он отвергал
теорию скачкообразного движения и считал, что оно непрерывно, то есть оно не
прерывается паузами покоя. «Ведь если тело покоится и отсутствует причина
нового движения, то оно будет покоится и дальше. И наоборот, если оно движется,
то оно всегда будет двигаться равномерно и прямолинейно» [4, с. 14]. Более
того, Лейбниц полагал, что любые фундаментальные законы природы описываются
только непрерывными функциями.
В отличие от Лейбница
многие философы (Декарт, Спиноза, Локк) отождествляли непрерывное и дискретное,
что часто приводило к парадоксам. Вот один из них: «Протяжённость бесконечно
делится на части, следовательно, она непрерывная. С другой стороны, она
является бесконечным множеством безразмерных разделённых точек, следовательно,
она дискретная» [5, с. 15].
Создание
дифференциального и интегрального исчислений стало, несомненно, главным математическим
событием XVII века. Ещё в Древней Греции предпринимались попытки анализа бесконечно
малых величин. Позже Декарт, Ньютон, Лейбниц продолжили изучение
дифференциального исчисления. Важнейший вклад в развитие данной теории внёс
французский математик Коши. Именно ему принадлежит создание теории пределов. Интересным мне
здесь видится то, что вначале Коши ввёл определение предела последовательности
(то есть предела дискретной функции). И только затем дал понятие предела
непрерывной функции, определив его с помощью пределов последовательности.
Весомый вклад в
исследование проблемы непрерывного и дискретного внесли Кантор и Дедекинд.
Именно они на основании теории множеств и непрерывности создали теорию
действительных чисел, дополнив дискретную область рациональных чисел числами
иррациональными. И получили при этом непрерывную область действительных чисел.
«В отличие от чисел натурального ряда, Кантор назвал кардинальными числами
«числа» обозначения мощности бесконечных множеств. Кантор считал, что область
определённых величин не исчерпывается конечными величинами. Если понятие
мощности было расширенным понятием «количество» для бесконечных множеств, то
понятие кардинального числа стало расширенным обобщением понятия «числа
вообще». Расширение Кантором понятия «числа» в область Бесконечного
ознаменовало переход математики на качественно новый уровень мышления» [6, с.
440].
Начало XX века вновь ознаменовалось усилением
интереса к математическим вопросам о взаимосвязи непрерывных и дискретных
процессов и функций. В это время происходит глобальные перемены в физике. Так,
к примеру, Планк отказывается от идей классической физики, а взамен выдвигает
гипотезу о дискретности физического действия. Через несколько лет Эйнштейн ввёл
понятие дискретности в световых явлениях. И в последующие годы квантовая
механика рассматривала вопрос о синтезе дискретности и непрерывности в форме
корпускулярно-волновой двойственности.
Новый этап
взаимопроникновения непрерывных и дискретных методов начался после второй
мировой войны. И связано это было с появлением ЭВМ и впоследствии с переходом к
постиндустриальному и информационному обществу. Одно из важнейших значений в
это время приобретает теория
рациональных приближений функций, а также метод моделирования.
«Некоторые математические модели, возникающие при исследовании кибернетических
систем, задаются с помощью и непрерывных, и дискретных функций. Так, в
микроэлектронике интегральная схема часто может быть задана в виде дискретного
объекта – графа, элементы которого связаны между собой непрерывными функциями.
Естественно, что при исследовании таких моделей сочетаются непрерывные и
дискретные методы» [5, с. 22].
Диалектическое
соотношение конечного и бесконечного имеет большое методологическое значение в
обретаемом единстве взаимодействия непрерывной и дискретной математики в
процессе её зарождения, становления и развития. Математика разрабатывает методы
для совершенного овладения непрерывностью, бесконечностью посредством
дискретного и конечного. Верно также и обратное. А это и даёт единство
математики. Диалектический метод во многом разрешил проблему соотношения
непрерывности и прерывности, что
подтверждает и современная наука. Однако в плане возможностей
человеческого разума: философия, наука и методология науки развиваются, и, быть
может, новые перспективные направления предложат новое решение проблемы
прерывности-непрерывности, а может только подтвердят старые истины.
Литература
1. Мелюхин С.Т. Проблема
конечного и бесконечного (философский очерк). -
М., 1958. – 264 с.
2. Лейбниц Г.В. Сочинения
в 4 Т.: Т. 1 / Ред. и сост. В.В. Соколов; перевод
Я.М. Боровского и др. – М.: Мысль, 1982. –
636 с.
3.
Философия: Учеб. – метод. комплекс / Под ред. А.И. Зеленкова. – Мн.:
БГУ, 2003. – 335 с.
4. Leibniz G.W. Philosophishe Schriften. Bd. 4 .
Современные аспекты обучения дискретной
математике. – Мн.; БГУ,
2002. - 120 с.
5. Мельников О.И.
Современные аспекты обучения дискретной математике. –
Мн.; БГУ, 2002. - 120 с.
6. Силков С.В. Кантор // История
философии: энциклопедия. - Мн.:
Интерпресссервис: Книжный дом. 2002. - 1376
с., С. 439-441.
Сведения об авторе: Семеняко Андрей
Николаевич, +375297545162 (моб.),
e-mail: hodasen@mail.ru