Математика/5

Тонкошкур И.С.

Днепропетровский национальный университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

ПО КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

 

Разработка методов расчета вязких течений жидкости со свободными границами представляет интерес в связи с широким распространением таких течений в технике. При этом большое значение имеет моделирование пространственных течений [1].

В настоящей работе рассмотрена задача о безволновом пленочном течении нелинейно-вязкой жидкости по поверхности некругового конуса. Предполагается, что ось тела расположена под некоторым углом г к вертикали, а пленка стекает от его вершины вниз. На жидкость действуют силы тяжести и поверхностного натяжения. Уравнение поверхности тела в сферической системе координат  (r, q, h)  задается в виде q= q(h), где q - угол между образующей и осью конуса.

  Для описания течения жидкой пленки принимается модель вязкой несжимаемой жидкости. Уравнения движения и неразрывности записываются в криволинейной ортогональной системе координат (x, h, z): x - координата, отсчитываемая от вершины конуса вдоль образующей, h- полярный угол в поперечном  сечении тела, z - координата по нормали к поверхности. В качестве граничных условий используются условие прилипания на поверхности твердого тела, а также условия  непрерывности напряжений и нормальной составляющей вектора скорости – на поверхности Г, разделяющей жидкость и газ. Для замыкания системы уравнений используется степенной реологический закон [2].

Для упрощения исходной системы уравнений используется метод малого параметра, в качестве которого выбрана относительная толщина пленки e = h0/l0  (h0, l0 – характерные поперечный и продольный размеры) [3]. В нулевом приближении система уравнений движения пленки по поверхности конуса имеет вид

  ,   ,

,                                            (1)

.

Граничные условия

u = v = w = 0                                                                          при z = 0,

,                                                                                     (2)

.                                                    при z=F.

Здесь u, w, v - составляющие вектора скорости, соответствующие координатам x, h, z; P - давление, r - плотность жидкости; F=F(x,h) - уравнение свободной поверхности конуса, – единичный вектор, задающий направление действия силы тяжести;  - базисные векторы криволинейной системы координат (x, h, z); Re, Fr – числа Рейнольдса и Фруда.

Решение системы уравнений (1)-(2) может быть представлено в виде

,

,                                                             (3)

,

где

                

              

Подставив выражения (3) в последнее граничное условие (2), получим следующую начально-краевую задачу для определения неизвестной толщины жидкой пленки F:

,                                                               (4)

.                                                                       (5)

Система уравнений (4)-(5) решается численно с использованием разностной схемы бегущего счета. Функция F0(x) находится в результате решения уравнения (4) на линии растекания.

По описанной методике проведены расчеты течения вязкой жидкости по поверхности кругового и эллиптического конусов, а также пирамидальных тел с поперечным сечением в виде треугольника и квадрата со скругленными кромками. Проанализировано влияние формы тела и параметра нелинейности n вязкой жидкости на распределение толщины пленки по поверхности тела.

Литература:

1.    Волченко Ю.А., Иевлев И.И. Динамика жидкой пленки на искривленной твердой стенке   с учетом фазового превращения на свободной поверхности // Механика жидкости и газа. – 1994. – №4. – С. 42-50.

2.    Шульман З.П., Байков В.Н. Реодинамика и тепломассообмен в пленочных течениях. – Минск: Наука и техника, 1979. – 296 с.

3.    Тонкошкур И.С. Моделирование течения жидкой пленки по поверхности тела вращения // Питання прикладної математики і математичного моделювання. - Дніпропетровськ: ДНУ, 2003. – С. 178-183.