Кладун Е.А., Карачун В.В., Мельник В.Н.

Национальный технический университет Украины “КПИ”

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПИЧЕСКОГО ИНТЕГРАТОРА ЛИНЕЙНЫХ УСКОРЕНИЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ

Жестко свяжем с корпусом ракеты-носителя систему координат и будем считать ее опорной. Начало, точку , совместим с центром масс прибора. Ось направим вдоль оси наружной рамки, параллельно продольной оси ракеты – к обтекателю, ось совместим с главной осью гироскопа, параллельно поперечной оси, расположенной в плоскости шпангоута, ось – перпендикулярно первым двум.

Оси образуют правую систему координат (рис.1).

С наружной рамкой свяжем координатную систему . Ось совместим с осью , ось направим параллельно оси кожуха гироскопа, ось – перпендикулярно к плоскости наружной рамки, чтобы образовать правую систему координат.

С кожухом жестко свяжем систему координатных осей : ось совместим с осью поворота внутренней рамки, ось совместим с осью фигуры. Начало координат, точку , расположим на оси подвеса кожуха. Таким образом, эта точка отстоит от точки на расстоянии вдоль оси .

Оси Резаля – – направим параллельно осям , а начало, точку , совместим с центром масс гиромотора – точкой .

Такая ориентация осей принята в случае использования прибора для измерения продольной составляющей скорости движения подвижного объекта.

Положение ротора гироскопа относительно корпуса ракеты будем задавать с помощью углов ( – угол поворота наружной рамки относительно корпуса; – угол поворота кожуха относительно своей оси; – угол поворота ротора относительно кожуха прибора).

Для вывода дифференциальных уравнений движения гироскопического интегратора воспользуемся уравнениями Лагранжа II рода –

, (1)

где , – соответственно обобщенная координата и обобщенная скорость;  – обобщенная сила. В качестве обобщенных координат выберем углы . Тогда физический смысл величины – есть момент приложенных к гироскопу сил.

С целью упрощения вывода уравнений движения пренебрегаем массой наружной рамки.

Ввиду наличия в подвесе не пересекающихся, а перекрещивающихся осей, кинетическую энергию гиромотора в абсолютном движении ищем в виде суммы

кинетической энергии поступательного движения центра масс прибора и  – кинетической энергии вращательного движения гироскопа вокруг центра масс ракеты и центра масс гироскопа.

Пусть масса гиромотора равна , а абсолютная линейная скорость его центра масс – . Тогда, кинетическая энергия определим выражением –

,

где

; (2)

в случае совпадения точки пересечения осей подвеса и центра масс гиромотора третье и четвертое слагаемые исчезают; – скорость поступательного движения центра масс ракеты-носителя; – угловая скорость поворота ракеты относительно своего центра масс; – радиус-вектор, соединяющий т. с центром масс ракеты; – радиус-вектор, определяющий положение т. относительно т. ; – радиус-вектор, определяющий положение центра масс ротора относительно т. ; – угловые скорости поворота гироскопа вокруг осей наружной и внутренней рамок соответственно (рис. 2).

Таким образом, имеет место соотношение –

.

В скалярной форме, в проекциях на оси Резаля выражение (2) имеет вид:

;

; (3)

.

Угловая скорость корпуса ракеты-носителя может быть представлена через проекции на оси системы координат , жестко связанные с носителем, то есть в виде составляющих и . Чтобы найти проекции этих величин на оси Резаля, удобно воспользоваться таблицей направляющих косинусов:

Таблица 1.

Схема направляющих косинусов

	x	y	z
		0

С целью упрощения дальнейших математических преобразований, считаем подвижную часть прибора лишенной технологического дебаланса. Кроме того, будем предполагать, что при (взаимной перпендикулярности оси фигуры и выходной оси) центр масс системы ротор-кожух-наружная рамка находится на главной оси, но смещен относительно оси привеса кожуха на величину вдоль этой оси.

Принятые предположения позволят утверждать, что

(4)

Первые три слагаемых в правой части выражений (3) представляют собой поступательную скорость той точки ракеты-носителя, которая совпадает с точкой , то есть

;

; (5)

.

Воспользовавшись далее табл. 1, запишем соотношения (3) с учетом угловой скорости движения корпуса ракеты:

;

(6)

;

.

В предположении малости величин и , а также угла (он составляет доли градуса), можно провести линеаризацию и упростить выражение (6):

; ; .

С учетом этого, кинетическая энергия поступательной части движения может быть представлена в виде –

(7)

.

Здесь величина не зависит от углов и , а величина – зависит. Уточним это.

Будем считать, что скорость точки ракеты задана через проекции , и на оси, жестко связанные с корпусом. Тогда

; ; . (8)

Принимая во внимание табл. 1 направляющих косинусов, можно раскрыть значение величины :

(9)

.

В окончательном виде с учетом соотношений (8), (9) формула (7) для вычисления кинетической энергии приобретет вид:

(10)

.

Вычислим кинетическую энергию вращательной части движения гироскопа.

Оси Резаля совершают два вращательных движения – переносное вместе с кожухом ракеты-носителя, то есть вместе с координатными осями , и относительное – относительно корпуса ракеты.

Мгновенную угловую скорость ракеты в проекциях на оси, жестко связанные с корпусом, обозначим через и . Угловая скорость относительного движения будет иметь только две составляющие – и (рис. 2).

Теперь, с помощью табл. 1 направляющих косинусов, нетрудно установить значения абсолютной угловой скорости гироскопа в проекциях на оси Резаля:

;

; (11)

.

Если обозначить через – главные центральные моменты инерции гироскопа относительно осей x, y, z, тогда кинетическую энергию можно представить в виде –

, (12)

а полную энергию – с помощью соотношения:

(13)

.

Теперь можно приступить непосредственно к составлению уравнений движения гироскопического интегратора.

Вначале составим уравнение по координате . Предполагаем, что момент гиромотора уравновешивается моментом сил сопротивления. Тогда можно утверждать, что результирующий момент относительно главной оси гироскопа равен нулю.

Из (13) получаем:

. (14)

Перейдем к составлению уравнений движения по координате :

; (15)

;

.

В дальнейшем будем считать малыми величины по сравнению с . Кроме того, считаем малыми также величины и по сравнению с продольной скоростью . Пренебрежем также, ввиду малости, произведениями малых величин. Тригонометрические функции угла представим в виде степенных рядов с удержанием лишь первых членов.

С учетом сказанного, уравнения моментов относительно наружной рамки примут вид –

. (16)

Произведя аналогичные операции по координате , получим уравнение моментов относительно оси привеса кожуха:

;

;

(17)

.

С учетом принятых упрощений, уравнения движения гироскопа относительно оси привеса кожуха будут иметь вид –

(18)

.

С целью дальнейшего упрощения уравнений (16), (18) примем величины угловых ускорений приблизительно одного порядка. Это позволит пренебречь слагаемыми и (по сравнению с величиной ) в уравнении (14) и членом (по сравнению с ) – в уравнении (18). Тогда получим:

;

(19)

.

Моментами внешних сил и , действующими относительно осей подвеса гиромотора, являются моменты силы веса моменты сил сухого трения , коррекционный момент , обеспечивающий перпендикулярность главной оси и плоскости наружной рамки, то есть –

(20)

Принимая во внимание, что угол практически равен нулю, выражения можно упростить –

;

.

Тогда уравнения движения гироинтегратора (19), с учетом изложенного, можно представить в виде –

;

. (21)

где – общий момент инерции подвижной части относительно оси наружной рамки ( – момент инерции наружной рамки); – суммарный момент инерции по отношению к переносному ускорению , приведенный к оси наружной рамки; – суммарный момент сил сухого трения на оси наружной рамки и датчика момента, приведенный к оси рамки; – суммарный момент инерции по отношению к переносному ускорению относительно оси привеса кожуха, приведенный к этой оси; ;

;

–

моменты-помехи, вызванные влиянием акустического излучения.

Как следует из уравнений движения (21), для расчета погрешностей прибора от действия ускорений баллистической ракеты вдоль осей, перпендикулярных к оси чувствительности, необходимо определение величины статического угла, обусловленного наличием постоянного или медленно меняющего момента вдоль оси наружной рамки. Точный расчет здесь затруднен и эффективным является использование асимптотических методов, в частности, метода гармонического баланса.