Кладун Е.А., Карачун В.В., Мельник В.Н.
Национальный технический университет Украины “КПИ”
УРАВНЕНИЯ
ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПИЧЕСКОГО ИНТЕГРАТОРА ЛИНЕЙНЫХ УСКОРЕНИЙ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ
Жестко
свяжем с корпусом ракеты-носителя систему координат и будем считать ее
опорной. Начало, точку
, совместим с центром масс прибора. Ось
направим вдоль оси наружной
рамки, параллельно продольной оси ракеты – к обтекателю, ось
совместим с главной
осью гироскопа, параллельно поперечной оси, расположенной в плоскости
шпангоута, ось
– перпендикулярно
первым двум.
Оси образуют правую
систему координат (рис.1).
С наружной
рамкой свяжем координатную систему
. Ось
совместим с осью
, ось
направим параллельно
оси кожуха гироскопа, ось
– перпендикулярно к
плоскости наружной рамки, чтобы образовать правую систему координат.
С
кожухом жестко свяжем систему координатных осей : ось
совместим с осью
поворота внутренней рамки, ось
совместим с осью
фигуры. Начало координат, точку
, расположим на оси подвеса кожуха. Таким образом, эта точка
отстоит от точки
на расстоянии
вдоль оси
.
Оси
Резаля – – направим параллельно
осям
, а начало, точку
, совместим с центром масс гиромотора – точкой
.
Такая
ориентация осей принята в случае использования прибора для измерения продольной
составляющей скорости движения подвижного объекта.
Положение
ротора гироскопа относительно корпуса ракеты будем задавать с помощью углов (
– угол поворота наружной рамки относительно корпуса;
– угол поворота кожуха
относительно своей оси;
– угол поворота ротора
относительно кожуха прибора).
Для
вывода дифференциальных уравнений движения гироскопического интегратора
воспользуемся уравнениями Лагранжа II рода –
, (1)
где ,
– соответственно
обобщенная координата и обобщенная скорость;
– обобщенная сила. В качестве обобщенных координат
выберем углы
. Тогда физический смысл величины
– есть момент
приложенных к гироскопу сил.
С целью упрощения вывода уравнений движения пренебрегаем
массой наружной рамки.
Ввиду
наличия в подвесе не пересекающихся, а перекрещивающихся осей, кинетическую
энергию гиромотора в абсолютном движении
ищем в виде суммы
кинетической
энергии поступательного
движения центра масс прибора и
– кинетической энергии вращательного движения гироскопа
вокруг центра масс ракеты и центра масс гироскопа.
Пусть
масса гиромотора равна , а абсолютная линейная скорость его центра масс –
. Тогда, кинетическая энергия
определим выражением –
,
где
; (2)
в случае
совпадения точки пересечения осей подвеса и центра масс гиромотора третье и
четвертое слагаемые исчезают; – скорость
поступательного движения центра масс ракеты-носителя;
– угловая скорость
поворота ракеты относительно своего центра масс;
– радиус-вектор,
соединяющий т.
с центром масс ракеты;
– радиус-вектор,
определяющий положение т.
относительно т.
;
– радиус-вектор,
определяющий положение центра масс ротора относительно т.
;
– угловые скорости
поворота гироскопа вокруг осей наружной и внутренней рамок соответственно (рис.
2).
Таким
образом, имеет место соотношение –
.
В скалярной форме, в проекциях на оси Резаля выражение
(2) имеет вид:
;
; (3)
.
Угловая
скорость корпуса ракеты-носителя может быть
представлена через проекции на оси системы координат
, жестко связанные с носителем, то есть в виде составляющих
и
. Чтобы найти проекции этих величин на оси Резаля, удобно воспользоваться
таблицей направляющих косинусов:
Таблица 1.
Схема направляющих косинусов
|
x |
y |
z |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С
целью упрощения дальнейших математических преобразований, считаем подвижную
часть прибора лишенной технологического дебаланса. Кроме того, будем
предполагать, что при (взаимной
перпендикулярности оси фигуры и выходной оси) центр масс системы
ротор-кожух-наружная рамка находится на главной оси, но смещен относительно оси
привеса кожуха на величину
вдоль этой оси.
Принятые предположения позволят утверждать, что
(4)
Первые
три слагаемых в правой части выражений (3) представляют собой поступательную
скорость той точки ракеты-носителя, которая совпадает с точкой , то есть
;
;
(5)
.
Воспользовавшись далее табл. 1, запишем соотношения (3)
с учетом угловой скорости движения корпуса ракеты:
;
(6)
;
.
В
предположении малости величин и
, а также угла
(он составляет доли
градуса), можно провести линеаризацию и упростить выражение (6):
;
;
.
С
учетом этого, кинетическая энергия поступательной части движения может быть представлена
в виде –
(7)
.
Здесь
величина не зависит от углов
и
, а величина
– зависит. Уточним
это.
Будем
считать, что скорость точки ракеты задана через
проекции
,
и
на оси, жестко
связанные с корпусом. Тогда
;
;
. (8)
Принимая
во внимание табл. 1 направляющих косинусов, можно раскрыть значение величины :
(9)
.
В
окончательном виде с учетом соотношений (8), (9) формула (7) для вычисления
кинетической энергии приобретет вид:
(10)
.
Вычислим
кинетическую энергию вращательной части
движения гироскопа.
Оси
Резаля совершают два вращательных движения – переносное вместе с кожухом
ракеты-носителя, то есть вместе с координатными осями , и относительное – относительно корпуса ракеты.
Мгновенную
угловую скорость ракеты в проекциях на оси, жестко связанные с корпусом,
обозначим через и
. Угловая скорость относительного движения будет иметь только
две составляющие –
и
(рис. 2).
Теперь,
с помощью табл. 1 направляющих косинусов, нетрудно установить значения
абсолютной угловой скорости гироскопа в проекциях на оси Резаля:
;
; (11)
.
Если
обозначить через – главные центральные
моменты инерции гироскопа относительно осей x,
y, z, тогда кинетическую энергию
можно представить в виде
–
,
(12)
а полную
энергию – с помощью
соотношения:
(13)
.
Теперь можно приступить непосредственно к составлению
уравнений движения гироскопического интегратора.
Вначале
составим уравнение по координате . Предполагаем, что момент гиромотора уравновешивается
моментом сил сопротивления. Тогда можно утверждать, что результирующий момент
относительно главной оси гироскопа равен нулю.
Из
(13) получаем:
. (14)
Перейдем
к составлению уравнений движения по координате :
;
(15)
;
.
В
дальнейшем будем считать малыми величины по сравнению с
. Кроме того, считаем малыми также величины
и
по сравнению с
продольной скоростью
. Пренебрежем также, ввиду малости, произведениями малых
величин. Тригонометрические функции угла
представим в виде
степенных рядов с удержанием лишь первых членов.
С
учетом сказанного, уравнения моментов относительно наружной рамки примут вид –
. (16)
Произведя
аналогичные операции по координате , получим уравнение моментов относительно оси привеса кожуха:
;
;
(17)
.
С
учетом принятых упрощений, уравнения движения гироскопа относительно оси
привеса кожуха будут иметь вид –
(18)
.
С
целью дальнейшего упрощения уравнений (16), (18) примем величины угловых
ускорений приблизительно одного
порядка. Это позволит пренебречь слагаемыми
и
(по сравнению с
величиной
) в уравнении (14) и членом
(по сравнению с
) – в уравнении (18). Тогда получим:
;
(19)
.
Моментами
внешних сил и
, действующими относительно осей подвеса гиромотора, являются
моменты силы веса
моменты сил сухого
трения
, коррекционный момент
, обеспечивающий перпендикулярность главной оси и плоскости
наружной рамки, то есть –
(20)
Принимая
во внимание, что угол практически равен
нулю, выражения можно упростить –
;
.
Тогда
уравнения движения гироинтегратора (19), с учетом изложенного, можно
представить в виде –
;
. (21)
где – общий момент инерции
подвижной части относительно оси наружной рамки (
– момент инерции наружной рамки);
– суммарный момент
инерции по отношению к переносному ускорению
, приведенный к оси наружной рамки;
– суммарный момент сил сухого трения на оси наружной рамки и
датчика момента, приведенный к оси рамки;
– суммарный момент
инерции по отношению к переносному ускорению относительно оси привеса кожуха,
приведенный к этой оси;
;
;
–
моменты-помехи,
вызванные влиянием акустического излучения.
Как
следует из уравнений движения (21), для расчета погрешностей прибора от
действия ускорений баллистической ракеты вдоль осей, перпендикулярных к оси
чувствительности, необходимо определение величины статического угла,
обусловленного наличием постоянного или медленно меняющего момента вдоль оси
наружной рамки. Точный расчет здесь затруднен и эффективным является использование
асимптотических методов, в частности, метода гармонического баланса.