Магда В.В.

ДВНЗ „Київський національний економічний університет ім. В.Гетьмана”

Визначення поверхні оптимальної рентабельності підприємства

На сьогодні актуальним завданням при аналізі рекламного бюджету є економіко-математичне моделювання оптимальної рентабельності підприємства. В попередній роботі [1, с. 171-172] було проведене дослідження економіко-математичної моделі рентабельності компанії. Проте, невирішеною проблемою залишається оптимізація рентабельності на практиці.

Розглянемо задачу знаходження максимального значення функції прибутку R(x):

, (1)

де p – вартість виробленого товару, с – вартість витрат на виробництво, х – вартість маркетингових витрат, функції збуту, початковий збут.

За необхідною умовою існування максимуму функції R(x) :

. (2)

Запишемо систему диференціальних рівнянь [2, с. 171], розв’язок якої являється оптимальне значення функції збуту y(x), що пов’язане з максимальним значенням прибутку R(x) в залежності від маркетингових витрат x [1, с. 171; 2, с. 218; 3, с. 41]:

, (3)

де – рівень сприйняття ринку.

Отже, можна визначити функцію оптимального прибутку:

(4)

Розв’яжемо систему диференціальних рівнянь (3), маємо:

. (5)

Розв’язки квадратного рівняння (5), мають вигляд:

. (6)

Вони визначають оптимальні значення функції збуту y(x) при максимальному значенні прибутку. Ці розв’язки існують, якщо дискримінант додатній:.

Таким чином, маємо оптимальне значення функції:

. (7)

Поділимо ліву і праву частини (7) на, маємо розв’язки системи (3) в безрозмірному вигляді:

. (8)

З іншого боку, розв’язок диференціального рівняння системи (3) є вірним і для оптимальних значень:

(9)

З рівняння (9) виражаємо через та записуємо у безрозмірному вигляді:

. (10)

Визначимо рентабельність маркетингових витрат, враховуючи (9) та (10) [4, с. 535]:

. (11)

Введемо позначення:

, . (12)

Тоді формула (11) набуде вигляду:

. (13)

Таким чином, формула (13) являється формулою оптимальної рентабельності функції збуту від маркетингових витрат.

Побудуємо поверхню оптимальної рентабельності (13) в області зміни змінних (рис. 1).

Рис.1 Поверхня оптимальної рентабельності в області зміни змінних

Висновки

Отже, в роботі була визначена економіко-математична модель рентабельності за маркетинговими затратами.

Таким чином, можемо спостерігати на поверхні оптимальної рентабельності декілька різких сплесків, що характеризують найвищий рівень росту оптимальної рентабельності підприємства.

Література

1. Блудова Т.В., Магда В.В. Оптимізація маркетингових витрат фірми// Вчені записки. Збірник наукових праць. – 2009. – №11. – с. 167-174.

2. Савицкая Г. В. Анализ хозяйственной деятельности предприятия. – 3-е изд. – М. – ИНФРА-М, 2006. – 330 с.

3. Кононенко О. Анализ финансовой отчетности. - 3-е изд., перераб. и доп. – Х.: Фактор, 2005. – 156 с.

4. Дятлов А.Н., Артамонов С.Ю. Оптимизация маркетингового бюджета с использованием S-образных кривых функции спроса// Экономический журнал ВШЭ. – 1999. – № 4. – с. 529-542.