Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения

 

К.ф.-м.н. Тингаев А.А.

Одесский институт финансов УГУФМТ, Украина

Продолжаемость решений сингулярных систем между двумя особыми точками

Изучение асимптотических свойств решений сингулярных дифференци­альных уравнений и систем является одной из наиболее актуальных задач качественной теории дифференциальных уравнений, к которым, как известно, сводятся математические модели механики, электротехники, атомной и ядер­ной физики, физхимии, математической биологии и др. Направления иссле­дований данных уравнений и их систем довольно разнообразны, но общей теории еще нет. Поэтому каждая новая задача и каждая новая ее модификация актуальна и нуждается в собственных, не традиционных подходах и доказательствах фундаментальных теорем.

Здесь изучается вопрос об асимптотическом поведении решений сингу­лярных систем дифференциальных уравнений первого порядка между двумя особыми точками. Для таких систем подобная задача поставлена впервые. Заметим, что особенности системы уравнений на разных концах промежутка, вообще говоря, разные. Этот факт существенно расширяет класс изучаемых сингулярных дифференциальных уравнений и систем, что, в свою очередь, приводит к более широким практическим приложениям. Что важно, асимптотическая оценка выбирается в зависимости от вида особенности на соответствующем конце промежутка.

Получены достаточные условия существования известных асимпто­тических оценок таких решений. Исследование основано на применении качественного метода кривых и поверхностей без контакта [1].

 

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида:

  ,                                  (1)

 для которой выполнено условие А:  и , , причем  на , а  на ; : , ,  в области .

Ставится задача найти достаточные условия существования решения сингулярной системы уравнений (1), продолжаемого на , и такое, что

                                               (2)

Такая задача является сингулярной краевой задачей.

Теорема. Пусть для сингулярной системы дифференциальных уравнений (1), удовлетворяющей условиям А, существует такая функция Ляпунова  и такие функции  и  (,  на , ;  на , ), что при достаточно больших значениях постоянных , поверхности, заданные равенствами

  на                                 (3) 

  на                           (4)

    на                                                (5)

являются поверхностями без контакта.

Кроме того, пусть три функции

,      и   

на поверхностях, определяемых равенствами (3), (4), (5) соответ­ст­венно, имеют одинаковый знак. Причем,

, если ,                 (6)

, если .                (7)

Тогда на интервале  существует, по крайней мере, одно решение  сингулярной системы (1) такое, что , причем это решение удовлетворяет следующим оценкам:

  на                                      (8)

  на                                  (9)

  на                                      (10)

Замечания

1. При сделанных предположениях, согласно теореме Пикара-Коши, через каждую точку области  проходит единственная непрерывная интегральная кривая системы.

2. Функции  выбираются в зависимости от вида функций  соответственно так, чтобы:

,                         (11)

Доказательство. Пусть  — вектор поля, определяемый системой (1) в области ,  — вектор внешней нормали, по отношению к области

                                                         (12),

 — вектор внешней нормали к области

,                                                     (13),

 а  – вектор внешней нормали к области

.                                                          (14)

Тогда геометрически функции , ,  определяют на соответствующих поверхностях скалярное произведение соответственно: , , . И потому в случае  при возрастании  все поверхности (3), (4), (5) состоят из точек строгого входа, а если , то при убывании  все поверхности (3), (4), (5) состоят из точек строго входа.

 Если , то при убывании переменной  граница области (12) состоит из точек строгого выхода. И потому, в силу топологического принципа Важевского [2, 3], существует, по крайней мере, одна интегральная кривая системы (1) на промежутке  внутри области, задаваемой неравенством  (12). Из условий (7) следует, что выделенная интегральная кривая не может выйти за пределы областей, определяемых неравенствами (13), (14). В самом деле, если бы эта интегральная кривая вышла за пределы области (13), то она пересекла бы границу этой области в направлении выхода, что невозможно, так как граница области состоит из направлений строгого входа. Тогда через точку пересечения кривой с поверхностью прошли бы две интегральные кривые: одна в направлении входа, другая – выхода, что невозможно в силу единственности интегральной кривой, проходящей через каждую точку области .

Аналогично рассуждаем, если . Тогда в силу топологического принципа Важевского, при возрастании переменной  на промежутке  внутри области (13) лежит хотя бы одна интегральная кривая системы (1), так как граница этой области состоит из точек строгого выхода. Продолжаем эту кривую в направлении убывания переменной . Из условия (6) следует, что интегральная кривая не может выйти за пределы области (12) и области (14), так как интегральные кривые из предыдущей области не могут выйти за пределы следующей области в сторону убывания .

В результате этих рассуждений получаем, что существует хотя бы одно решение  системы сингулярных дифференциальных уравнений (1), продолжаемое на интервал , и удовлетворяющее оценкам (8), (9), (10).

Пример.

,

где . Для данного уравнения функция Ляпунова имеет вид: , роль функций  выполняют функции , и .

Замечание

Если система уравнений (1) является l‑периодической по , то получаем достаточное условие существования l‑периодического решения.

Литература:

1.     Гаврилов Н.И. Методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. ― М.: Высш. шк., 1962. ― 314 с.

2.     Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер. с англ. -- М.: Мир, 1970. -- 720 с.

3.     Wazewski T. Sur une principe topologique de l'examen asymptotique des integrales des equations differentielles//Ann. Soc. Polon. Math. -- 1947. -- Vol. 20, № 8. -- Р. 279--313.