К.пед.н. Наурызбаева Р.М.

Военный институт КНБ РК. Алматы

Исследование функций в полярной системе координат

После открытия переменных величин исследование функций получила новое русло. Но все исследования функций в основном проводятся в декартовой системе координат. А уравнения кривых бывают настолько сложными, что исследование каждой кривой превращалась в сложную научную работу. Например, чтобы определить область определения уравнения кривой, под названием декартов лист потребовалось почти пол века.

В данной работе дается метод исследования функций в полярной системе координат и ее некоторые различие от исследования функций в декартовой системе координат.

Приняты два вида полярных координат:

1) строго полярные координаты, где ,

2) обобщенная полярная система координат, где как , так и .

Будем рассматривать полярные координаты первого вида, если существует уравнение кривой в полярной системе координат, то ее можно рассматривать как функцию переменной , где . Тогда исследование функций и построение графика кривой осуществляется по следующей схеме.

1. Нахождение области определения функций следует искать из решения неравенства .

2. Если функция имеет экстремальные точки, то в этих точках касательная будет перпендикулярно к радиусу данной точки.

3. Находим экстремальные точки в декартовый системе координат, исследуя функций и .

4. Находим 4 вида асимптоты:

1) Наклонная асимптота. В полярной системе наклонную асимптоту

будем искать в точках, где один из пределов стремится к бесконечности, где , .

Радиус-функция кривой и радиус-функция асимптоты при связаны отношениям (рисунок 1).

Рисунок 1.

Если обазначить , то при последовательность стремится к нулью при . Тогда в прямоугольнике катеты является длиной перпендикуляра опушенной из точек кривой к асимптоте.

может стремится к нулью, при этом - могут оставаться постоянной, т.е. при потому что ,. так как .

2) Горизонтальная асимптота. Ее будем искать в точках, где один из пределов стремится к бесконечности и где . Если есть конечное число, то уравнение горизонтальной асимптоты является .

Полярной системе координат горизонтальная асимптота не ограничивает радиус-функцию в бесконечности ( Рисунок 2).

Рисунок 2.

.

3) Вертикальная асимптота. Если один из пределов стремится к -ти и пределы хотя бы один из пределов стремится к постоянной b, то вертикальная асимптота.

4) Круговая асимптота. Если для данной кривой есть конечное число r. то является круговой асимптотой данной кривой.

Литература:

1. Наурызбаева Р.М. Кейбір теңдеуі полярлық координаталар жүйесінде берілген функцияларды зерттеу // Материалы международной научно-практической конференции «Достижения науки в области строительной механики и инженерных сооружений». – Алматы, 2005. – С. 115-120.

2 Наурызбаева Р.М. Полярлық координаталар жүйесінде берілген қисыққа жүргізілген жанама // Тезисы докладов 12-ой Межвузовской конференции по математике и механике. – Алматы, 2008. – 110 с.