Г.С. ПОЛЕТАЕВ
Кафедра высшей математики Одесской государственной
академии строительства и архитектуры, ул. Дидрихсона 4, 65029 Одесса, Украина
ВТОРОГО ПОРЯДКА И ТИПА ОДНОПРОЕКТОРНЫЕ ОДНОЧЛЕННЫЕ
УРАВНЕНИЯ С ПРАВИЛЬНО ФАКТОРИЗУЕМЫМИ ПО ПОДКОЛЬЦАМ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
|
Gennadiy Poletaev Department of
High Mathematics Odessa State Academy of Buildings and Architecture, 4
Didrihsona St., 65029 Odessa,
Ukraine SECOND-ORDER AND TYPE ODNOPROEKTORNYE MONOMIALS EQUATIONS
WITH CORRECT FACTORABLE COEFFICIENTS BY SUBRINGS
0.1.
В этой работе
продолжены исследования из публикаций [1, 2]. Рассмотрены уравнения
относительно неизвестных
изучаемые в
абстрактном ассоциативном кольце Ключевые слова: уравнения, кольцо, оператор,
проектор, факторизация, свертка,
интеграл.
0.1. This work to continue studies from
publications [1, 2]. Considered relatively
studied in abstract associative ring with
factorization pair Keywords Equations - ring -
operator–projector- factorization - convolution – integral Введение 0.2. В теориях некоторых классов уравнений можно обнаружить глубокую
общность. Определенный
её уровень наблюдается с точки зрения основ теории колец и функционального
анализа при изучении ряда видов уравнений и задач, в том числе серий
постановок. Это относится к уравнениям с замечательной, продолжительной
историей важным в математике и приложениях, а также к обнаруженным автором сравнительно недавно [1-14].
Среди
таких уравнений и задач: некоторые числовые уравнения; – известные и новые
векторные и матричные уравнения, а также связанные с ними новые прикладные
задачи механики (на определение нагрузок, моделируемых треугольными или
едиными, для разных совокупностей тел, матрицами; – на определение угловых
скоростей по информации о линейных; - на определение сил, при частично
заданных воздействиях и частично неизвестных откликах); – функциональные
уравнения, в том числе, связанные с задачами типа Римана-Гильберта-Привалова
теории аналитических функций; – интегральные
уравнения типа Винера–Хопфа [1,2,4,5,9] , а также другие интегральные уравнения с ядрами,
зависящими от разности аргументов (уравнения типа свертки [4]) и их системы
[1-12]. Общность наблюдается: в постановках
задачи разрешимости таких уравнений, -
в возможных формах записи исходных уравнений, их условий разрешимости
и представлений решений. Выяснение природы этой
общности мотивирует изучение соответствующих уравнений в абстрактном, не
обязательно коммутативном или нормированном кольце В приложениях,
«возмущение» Оказывается, что многие из отмеченных
уравнений и родственных задач в сериях постановок задачи их разрешимости
могут рассматриваться как реализации в конкретных кольцах соответствующих
видов уравнений в абстрактных кольцах с факторизационными парами подколец. Последние
уравнения выступают в роли своеобразных моделей (кольцевых моделей),
называемых иначе уравнениями-моделями. В
случае
[11], для
которых, ниже излагаются установленные результаты. В их числе, теоремы
о разрешимости с формулами решений уравнений (1), (2). Указывается также полученная формула решения уравнения (3) . 1.
Обозначения, определения и общие положения
1.1.
Следуя [1-3, 8, 10] через 1.2.
Дополняя [1, 2, 8, 10], где, в частности, развивается понятие факторизации
структуры [3], введем следующие определения
[ср.3]:
Определение. Пару подколец Аналогично, сменой порядка «сомножителей» в (5),
вводится правая факторизационная пара (ПФП) [1]. Укажем, что факторизации структуры в Определение. Всякое кольцо Нетривиальные
примеры колец с ФП можно построить, отправляясь, например, от колец матриц; –
колец абсолютно интегрируемых функций; – их соответствующих преобразований и
других [3, 5, 8, 10, 13, 14]. 1.3.
Будем говорить ([1, 2, 8, 10] ср. [3]), что элемент Множители Очевидно, что любой элемент
2. Разрешимость уравнений с правильно факторизуемыми коэффициентами
2.1.
Когда задача разрешимости абстрактных уравнений (1)-(2) ставится в кольце 2.2.
Разрешимость однопроекторных одночленных второго порядка уравнений (1)-(2) в
ассоциативном кольце с факторизационной парой, при соответствующих
предположениях, характеризуют
следующие результаты.
Теорема 1. Пусть Тогда
при любой правой части Соответствующее
однородное уравнение: Доказательство. Пусть условия
теоремы выполнены и уравнение (1) с заданной правой частью Применяя
к последнему равенству проектор Теорема
2. Пусть
Тогда
при любой правой части Соответствующее
однородное уравнение имеет в Опускаемое доказательство теоремы 2
подобно проведенному для теоремы 1, а
также доказательству теоремы 1 из работы [1].
Теорему 2 можно обосновать также “по симметрии”. Выводы
В силу
доказанных теорем, при сделанных
предположениях о факторизациях коэффициентов, устанавливаются аналогичные результаты и относительно уравнений (3), (4). В том
числе следующая формула представления
решения где
Подходы, базирующиеся на основных положениях теории колец и
функционального анализа, с учетом специфики конкретного уравнения –
реализации, оказываются плодотворными для исследования их разрешимости. В том
числе, для доказательства теорем существования с формулами решений [1, 8 ,9,
12-14].
Отметим в заключение, что в случае, когда R есть кольцо всех вещественных числовых квадратных матриц фиксированного
размера n*n, n≥2
результаты могут служить для обоснования соответствующих положений о
специальных матричных уравнениях, родственных, рассмотренным в [13,
14]. Нижние треугольные матрицы из
подкольца Литература 1. Полетаев Г.С. Об уравнениях и системах одного типа в кольцах с факторизационными
парами. – Киев, 1988. – 20 с. – (Препринт / АН УССР. Институт математики:
88.31). 2. Полетаев Г.С. Об однопроекторных второго порядка уравнениях с
правильно факторизуемыми коэффициентами в кольце с факторизационной парой //
Вестник Херсонского государственного технического университета. – 2000, –
№2(8). – С. 191 – 195. 3. McNabb A., Schumitzky A.
Factorization of Operators I: Algebraic Theory and Examples // J. Funct. Anal. – 1972. – 9, №3. – Р. 262 – 295. 4. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения
типа свертки. – М.: Наука, 1978. – 296 с. 5. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами,
зависящими от разности аргументов // Успехи мат. наук. – 1958. – 13, вып.
5(83). – С. 3 –120. 6. Полетаев Г.С. О некоторых интегральных уравнениях, встречающихся в
задачах механики и теории их абстрактных аналогов // VIII Воронеж. зимн. матем. шк. Тез. докл. – Воронеж,
1974. – С. 87 – 89. 7. Подлозный Э.Д., Полетаев Г.С. К уравнениям в кольцах с факторизационными
парами и уравнениям векторной алгебры // Спектральная теория
дифференциально–операторных уравнений – К.: Ин–т математики АН УССР, 1986. –
С. 99 – 102. 8. Полетаев Г. С. Абстрактный аналог
парного уравнения типа свертки в кольце с факторизационной парой // Укр.
матем. журн. – 1991. – 43, №9. – С. 1201 – 1213. 9. Полетаев Г.С. Парное уравнение типа
свертки с ядрами из различных банаховых алгебр // Укр. мат. журн. – 1991. –
43, №6. – 803 – 813. 10. Полетаев Г. С. Некоторые
результаты о парных уравнениях в кольцах с факторизационными парами // Вісник Харківського
національного університету. Серія “Математика, прикладна
математика і механіка”. – №582. – 2003. – С.
143 – 149. 11. Полетаев Г.С.
Однопроекторные одночленные второго порядка и типа уравнения с правильно
факторизуемыми по паре подколец коэффициентами // Известия Белорусской
инженерной академии. – 2004. – №2(18)/1. – С. 24 – 26. 12. Полетаев Г.С.
Однопроекторные одночленные второго
порядка и типа уравнения с правильно факторизуемыми коэффициентами и возмущением// XII International scientific Kravchuk Conference.15-17
May, 2008, Kyiv. Conference Materials I.-Kyiv.-2008.-P. 760. 13. Полетаев Г.С., Солдатов Л. И. Системы уравнений с двусторонне
факторизуемыми коэффициентами, треугольными матричными неизвестными и
проекторами // Известия Белорусской инженерной академии. – 2003. – №1(15)/3.
– С. 63 – 66. 1 14. Полетаев
Г.С., Солдатов Л.И. О моделировании
некоторых задач механики
матричными уравнениями с треугольными неизвестными // Нелинейная
динамика механических и биологических систем. Межвуз. научн. с сб./ Саратовский. гос. техн. ун.-т.,
вып.2.- Саратов, 2004.-С. 133-136. |
|
|