Г.С. ПОЛЕТАЕВ

Кафедра высшей математики Одесской государственной академии строительства и архитектуры, ул. Дидрихсона 4, 65029 Одесса, Украина

 

ВТОРОГО ПОРЯДКА И ТИПА ОДНОПРОЕКТОРНЫЕ ОДНОЧЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПРАВИЛЬНО ФАКТОРИЗУЕМЫМИ ПО ПОДКОЛЬЦАМ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gennadiy Poletaev

Department of High Mathematics Odessa State Academy of Buildings and Architecture, 4 Didrihsona St., 65029   Odessa, Ukraine

 SECOND-ORDER AND TYPE ODNOPROEKTORNYE MONOMIALS EQUATIONS WITH  CORRECT  FACTORABLE COEFFICIENTS BY SUBRINGS 

0.1.          В этой работе продолжены исследования из публикаций [1, 2]. Рассмотрены уравнения относительно неизвестных ,  общего вида:

                                                   ;                                                        (1)

                                                          ,                                                       (2)

изучаемые  в абстрактном ассоциативном кольце  с факторизационной парой  [1-3]. Установлены теоремы о разрешимости с формулами решений.

Ключевые слова: уравнения, кольцо, оператор, проектор, факторизация, свертка,  интеграл.

 

      0.1. This work to continue studies from publications [1, 2]. Considered relatively

,          unknown, general equation:

                                                          ;                                                       (1)

                                                          ,                                                       (2)

studied in abstract associative ring with factorization pair   [1-3]. The theorems about solvability with formulas decisions are proved.  

Keywords   Equations - ring - operator–projector- factorization - convolution – integral

Введение

       0.2. В теориях некоторых классов уравнений можно обнаружить глубокую общность. Определенный её уровень наблюдается с точки зрения основ теории колец и функционального анализа при изучении ряда видов уравнений и задач, в том числе серий постановок. Это относится к уравнениям с замечательной, продолжительной историей важным в математике и приложениях, а также   к обнаруженным автором сравнительно недавно  [1-14]. Среди таких уравнений и задач: некоторые числовые уравнения; – известные и новые векторные и матричные уравнения, а также связанные с ними новые прикладные задачи механики (на определение нагрузок, моделируемых треугольными или едиными, для разных совокупностей тел, матрицами; – на определение угловых скоростей по информации о линейных; - на определение сил, при частично заданных воздействиях и частично неизвестных откликах); – функциональные уравнения, в том числе, связанные с задачами типа Римана-Гильберта-Привалова теории аналитических функций; – интегральные уравнения типа Винера–Хопфа [1,2,4,5,9] , а также другие  интегральные уравнения с ядрами, зависящими от разности аргументов (уравнения типа свертки [4]) и их системы [1-12].

       Общность наблюдается: в постановках задачи разрешимости таких уравнений, -  в возможных формах записи исходных уравнений, их условий разрешимости и представлений решений. Выяснение природы этой общности мотивирует изучение соответствующих уравнений в абстрактном, не обязательно коммутативном или нормированном кольце  с единицей, обладающем двумя специальными  подкольцами , .  В этой общности истоки теории уравнений в абстрактных кольцах с факторизационными парами подколец, мотивация изучения,  построения и развития  общей теории таких уравнений.  В частности, изучения недавно обнаруженных абстрактных уравнений в кольце  с факторизационной парой (ФП) (, )  [2, 12]  с возмущением  и неизвестными ,  общего вида:

                                              ;                                            (3)

                                              .                                            (4)

В приложениях,  «возмущение»  может моделировать совокупность величин соответствующего «управляющего воздействия».

       Оказывается, что многие из отмеченных уравнений и родственных задач в сериях постановок задачи их разрешимости могут рассматриваться как реализации в конкретных кольцах соответствующих видов уравнений в абстрактных кольцах с факторизационными парами подколец. Последние уравнения выступают в роли своеобразных моделей (кольцевых моделей), называемых иначе уравнениями-моделями.        

       В случае  уравнения  (3), (4)  превращаются в уравнения (1), (2):

                                      ;                                            (1)

                                            ,                                                  (2)

[11], для  которых, ниже излагаются установленные результаты. В их числе, теоремы о разрешимости с формулами решений уравнений (1), (2).   Указывается также  полученная формула решения уравнения (3) .

1. Обозначения, определения и общие положения

1.1. Следуя [1-3, 8, 10] через  обозначим произвольное, вообще, некоммутативное и, возможно, неассоциативное кольцо с единицей . Пусть ,  – коммутирующие проекторы, т. е. аддитивные и идемпотентные отображения . Положим:  , . Для любого подмножества  обозначим ; ; ; . Для любого  полагаем: ; . Обратный в  для обратимого в  элемента  будем обозначать символом , снабженным, при необходимости, дополнительными. Для произвольных подмножеств  определим множество { существует и принадлежит }. Положим . Элемент  [– элемент , элемент ] назовем правильным [3], если  [, ].

1.2. Дополняя [1, 2, 8, 10], где, в частности, развивается понятие факторизации структуры [3],  введем следующие определения [ср.3]:

     Определение. Пару подколец   кольца  с единицей  будем называть левой факторизационной парой (ЛФП) этого кольца , если она порождена действующими в  коммутирующими проекторами , : , и выполняются следующие аксиомы:                                                                                                                                                                                                                    

          ;     – кольцевой гомоморфизм  и  в ;      .        (5)

Аналогично, сменой порядка «сомножителей» в (5), вводится правая факторизационная пара (ПФП) [1]. Укажем, что факторизации структуры в  [3] здесь соответствует ЛФП . Если  – коммутативное и, вообще, всякий раз, когда пара  является одновременно ЛФП и ПФП , эту пару будем называть факторизационной парой (ФП) кольца .

     Определение. Всякое кольцо  с единицей , рассматриваемое вместе с его фиксированной ФП  (ЛФП, ПФП)    будем называть кольцом с факторизационной парой  (левой, правой ФП, соответственно).

Нетривиальные примеры колец с ФП можно построить, отправляясь, например, от колец матриц; – колец абсолютно интегрируемых функций; – их соответствующих преобразований и других [3, 5, 8, 10, 13, 14].

1.3. Будем говорить ([1, 2, 8, 10] ср. [3]), что элемент  допускает в  левую (правую) факторизацию (l.ф.(r.ф.)) по паре  если существуют элементы , ,  такие, что

                                         ,                  ().                                                (6)       

 Множители , ,  в (6) называются плюс-, диагональным- и минус-факторами, соответственно. Левая (правая) факторизация (6) называется: правильной левой (правой) факторизацией (п.l.ф. (п.r.ф.)), если , ,  – правильные элементы; – нормированной левой (правой) факторизацией (н.l.ф. (н.r.ф.)), если ; – нормированной правильной левой (правой) факторизацией (н.п.l.ф. (н.п.r.ф.)), если она является (п.l.ф. (п.r.ф.)) и .

Очевидно, что любой элемент  и, в частности, коэффициенты рассматриваемых далее уравнений (1)-(2) допускают в  п.l.ф. (п.r.ф.) по ФП  тогда и только тогда, когда соответствующие обратные им элементы в  допускают в  п.r.ф. (п.l.ф.) по паре ФП . Известно [1, 3, 8], что правильная факторизация элемента из  по ФП  может быть нормирована, причем нормированная правильная левая (правая) факторизация единственна.

      2. Разрешимость уравнений с правильно факторизуемыми коэффициентами

2.1. Когда задача разрешимости абстрактных  уравнений (1)-(2) ставится в кольце  с факторизационной парой , элементы ,  будем считать искомыми, а остальные элементы заданными из . При этом считаем, что , , а коэффициенты предполагаем обратимыми в . Под решением в  уравнения (1) понимается всякий элемент , результат подстановки которого в левую часть (1) с помощью операций из  и проекторов , , , ,   p 0 преобразуется в его правую часть. Аналогично для уравнения (2).

2.2. Разрешимость однопроекторных одночленных второго порядка уравнений (1)-(2) в ассоциативном кольце с факторизационной парой, при соответствующих предположениях,  характеризуют следующие результаты.

     Теорема 1. Пусть  – ассоциативное кольцо с единицей  и ФП ; коэффициенты , причем ,  допускают в , соответственно, н.п.l.ф. и н.п.r.ф. по ФП :

                                           ,    .                                         (7)

Тогда при любой правой части  уравнение (1) имеет в  одно и только одно решение. Его можно определить по формуле:

                                           .                                                        (8)

Соответствующее однородное уравнение: , имеет в  только нулевое решение.

     Доказательство. Пусть условия теоремы выполнены и уравнение (1) с заданной правой частью  имеет решение . Тогда, необходимо: , где – некоторый элемент из ;

             ;                 .

Применяя к последнему равенству проектор , находим:  . Отсюда вытекает представление  формулой (8). Из (8) заключаем, что соответствующее (1) однородное уравнение имеет в  только тривиальное решение. Обратно: при любом элементе  правая часть формулы (8) определяет некоторый элемент . Подстановкой его в уравнение (1) и преобразованием, убеждаемся, что этот  действительно является решением в  данного уравнения с правой частью :    . Единственность решения в  вытекает из возможности представления произвольного решения  уравнения (1), соответствующего любой фиксированной правой части , формулой (8) и единственности нормированной правильной факторизации. Теорема доказана.

     Теорема 2. Пусть  – ассоциативное кольцо с единицей  и ФП ; коэффициенты , причем ,  допускают в , соответственно, н.п.r.ф. и н.п.l.ф. по ФП :

                                           ,    .                                         (9)

Тогда при любой правой части  уравнение (2) имеет в  одно и только одно решение. Его можно определить по формуле:

                                            .                                                     (10)

Соответствующее однородное уравнение имеет в  только тривиальное решение.

     Опускаемое доказательство теоремы 2 подобно  проведенному для теоремы 1, а также  доказательству  теоремы 1 из работы  [1].  Теорему 2    можно  обосновать также  “по симметрии”.

Выводы

     В силу доказанных теорем,  при сделанных предположениях о факторизациях коэффициентов, устанавливаются  аналогичные результаты  и относительно уравнений (3), (4). В том числе следующая  формула представления решения  уравнения (3) с произвольной правой частью  и «возмущением» :

                             ,                                (11)

где                       ,                  .                                   

     Подходы, базирующиеся на основных положениях теории колец и функционального анализа, с учетом специфики конкретного уравнения – реализации, оказываются плодотворными для исследования их разрешимости. В том числе, для доказательства теорем существования с формулами решений [1, 8 ,9, 12-14].

     Отметим в заключение, что в случае, когда R есть кольцо всех вещественных числовых квадратных матриц  фиксированного размера  n*n, n≥2 результаты могут служить для обоснования соответствующих положений о специальных матричных уравнениях, родственных,   рассмотренным  в [13, 14].  Нижние треугольные матрицы из подкольца имеют в этом случае на главной диагонали только нули. Эти матричные уравнения, в свою очередь, связаны с задачами механики  и иными. Результаты применимы  также к исследованию интегральных уравнений типа Винера-Хопфа и некоторых  других  [1, 2, 4, 5, 10]  .

 

Литература

1. Полетаев Г.С. Об уравнениях и системах одного типа в кольцах с факторизационными парами. – Киев, 1988. – 20 с. – (Препринт / АН УССР. Институт математики: 88.31).

2. Полетаев Г.С. Об однопроекторных второго порядка уравнениях с правильно факторизуемыми коэффициентами в кольце с факторизационной парой // Вестник Херсонского государственного технического университета. – 2000, – №2(8). – С. 191 – 195.

3. McNabb A., Schumitzky A. Factorization of Operators I: Algebraic Theory and Examples // J. Funct. Anal. – 1972. – 9, №3. – Р. 262 – 295.

       4. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. – М.: Наука, 1978. – 296 с.

5. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // Успехи мат. наук. – 1958. – 13, вып. 5(83). – С. 3 –120.

       6. Полетаев  Г.С. О некоторых интегральных уравнениях, встречающихся в задачах механики и теории их абстрактных аналогов // VIII Воронеж. зимн. матем. шк. Тез. докл. – Воронеж, 1974. – С. 87 – 89.

      7. Подлозный  Э.Д., Полетаев Г.С. К уравнениям в кольцах с факторизационными парами и уравнениям векторной алгебры // Спектральная теория дифференциально–операторных уравнений – К.: Ин–т математики АН УССР, 1986. – С. 99 – 102.

      8. Полетаев Г. С. Абстрактный аналог парного уравнения типа свертки в кольце с факторизационной парой // Укр. матем. журн. – 1991. – 43, №9. – С. 1201 – 1213.

      9. Полетаев Г.С. Парное уравнение типа свертки с ядрами из различных банаховых алгебр // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, №6. – 803 – 813.

      10. Полетаев Г. С. Некоторые результаты о парных уравнениях в кольцах с факторизационными парами // Вісник Харківського національного університету. Серія “Математика, прикладна математика і механіка”. – №582. – 2003. – С. 143 – 149.

       11. Полетаев Г.С. Однопроекторные одночленные второго порядка и типа уравнения с правильно факторизуемыми  по паре подколец  коэффициентами // Известия Белорусской инженерной академии. – 2004. – №2(18)/1. – С. 24 – 26.

       12. Полетаев Г.С. Однопроекторные  одночленные второго порядка и типа уравнения с правильно факторизуемыми  коэффициентами и возмущением// XII International scientific  Kravchuk Conference.15-17 May, 2008, Kyiv. Conference  Materials I.-Kyiv.-2008.-P. 760.

13. Полетаев Г.С., Солдатов Л. И. Системы уравнений с двусторонне факторизуемыми коэффициентами, треугольными матричными неизвестными и проекторами // Известия Белорусской инженерной академии. – 2003. – №1(15)/3. – С. 63 – 66.

1            14.   Полетаев Г.С., Солдатов Л.И. О моделировании  некоторых задач механики   матричными уравнениями с треугольными неизвестными // Нелинейная динамика механических и биологических систем. Межвуз. научн.   с сб./ Саратовский. гос. техн. ун.-т., вып.2.- Саратов, 2004.-С. 133-136.