К. ф.-м. н. Марзан С.А.

Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина,

Республика Беларусь

 

Приближенное решение задачи Коши для системы

дифференциальных уравнений с дробными

производными Капуто порядков

 

Рассмотрим задачу Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений

               , ,  (i=1,2,…,m)           (1)

c дробными производными Капуто  [1] порядков  (i=1,2,…,m).

Пусть  (i=1,2,…,m) – непрерывные функции своих аргументов на некотором множестве Dm, определяемом условиями

                ,            (2)

и удовлетворяющие условию липшицевости относительно переменной :

    , (i=1,2,…,m);    (3)

при этом

                           , (i=1,2,…,m).                       (4)

В работе [2] показано, что при выполнении условий (4), задача Коши (1) равносильна системе интегральных уравнений

                       , (i=1,2,…,m).                   (5)

Для построения приближенного решения системы (5) применим модификацию метода осреднения функциональных поправок [3]. Положим в первом приближении

           ,  (i=1,2,…,m),       (6)

где h>0, . Используя равенства (6), получим для определения  систему уравнений

                       (i=1,2,…,m).                  (7)

Предположим, что система (7) имеет решение  (достаточные условия существования и критерии выбора  рассмотрим позже), причем  (i=1,2,…,m). Тогда во втором приближении положим

                         ,                     (8)

где

                         (i=1,2,…,m).                    (9)

На основании (6) и (8)

               ,

а в соответствии с (9) для определения  получим систему уравнений

            ,

(i=1,2,…,m). Продолжая таким же образом далее, в v-ом приближении положим

              (10)

где . В силу этого,  будут определяться из системы уравнений

                     

                                   .                             (11)

В приближенной формуле, принятой за окончательную, можно положить h равным расчетному значению  или принять .

С использованием свойств дробных интегралов Римана-Лиувилля и производных Капуто, можно показать справедливость следующих теорем.

Теорема 1. Пусть , ,  – непрерывные функции своих аргументов на множестве , определяемом условиями (2), удовлетворяющие условиям (3), (4), и справедливы неравенства

                                , .

Тогда система уравнений (11) имеет единственное решение  (v=2,3,…), удовлетворяющее условиям , при этом .

Пусть на отрезке

                    ,  .             (12)

Теорема 2. Пусть , , функции  удовлетворяют условиям теоремы 1, и справедливы неравенства (12). Тогда каждая из последовательностей функций (10)  равномерно сходится на отрезке  к функциям  соответственно, являющихся решением задачи Коши (1), и при этом справедливы неравенства

    , где .

Литература

1. Caputo M. Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent  // Geophis. J. Astronom. Soc. – 1967. –Vol. 13. – P. 529-539.

2. Марзан С.А. Нелинейное дифференциальное уравнение дробного порядка с дробной производной Капуто в пространстве непрерывных функций // Труды Ин-та мат-ки, Минск. – 2004. – Т.12, №2. – С. 99-103.

3. Лучка А.Ю. Теория и применение метода осреднения функциональных поправок. К.: Наук. думка, 1969. – 315 с.