Мустафаев А.П., Зинатуллина А.С.

Семипалатинский Государственный Университет имени Шакарима, Казахстан

Простейшие способы восстановления аналитических функций

Исследование стационарных процессов различной физической природы обычно приводят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа

ΔU = 0,

где Δ = - оператор Лапласа.

Регулярные решения уравнения Лапласа называются гармоническими функциями.

Уравнение Лапласа и гармонические функции играют весьма важную роль в математической физике. Например, потенциал элементарного поля в области, свободной от зарядов, и скалярный потенциал стационарного магнитного поля в областях, свободных от электрических токов, являются гармоническими функциями. В гидродинамике потенциал скоростей и функции тока безвихревых, плоских течений несжимаемой идеальной жидкости в определенных областях также являются гармоническими функциями. Связь между аналитическими и гармоническими функциями используется в физических приложениях аналитических функций. При истолковании условия Коши-Римана и уяснения смысла аналитических функций часто используется понятие гармонической функции.

Нам известно, что если функция f(z) = u + iv аналитична в некоторой области D, то ее действительная часть u(x, y) и мнимая часть v(x, y) являются гармоническими в этой области функциями.

Рассмотрим теперь несколько взаимно-обратных задач, связанных с нахождением гармонических функций.

Задача 1, а. Найти все гармонические функции вида u = f(x² + y²), отличные от постоянной.

Решение: Так как искомые функции должны быть гармоническими, то они должны удовлетворять уравнению Лапласа

= 0. (1)

Положим, t = x² + y². Тогда будем иметь u = f(t), где t = t(x, y).

По правилу дифференцирования функции находим подставляя полученные значения в уравнение (1), получим

t f ''(t) + f '(t) = 0,

общим решением которого является функция f(t) = C₁ ln t + C₂, где С₁, С₂ – const.

Таким образом, искомая гармоническая функция имеет вид

u = f(x² + y²) = C₁ ln(x² + y²) + C₂.

Задача 1, б. Решением уравнения Лапласа являются гармонические функции. Поэтому найдем элементарное решение уравнения Лапласа.

Вводя вместо x, y новую переменную, зависящую от характеристик

z = (x + iy) (x – iy) = x² + y²,

уравнение (1) приводится к дифференциальному уравнению вида

z u_zz + u_z = 0.

Решая полученное уравнение и переходя к старым переменным, получим общее решение уравнения (1), зависящее от произвольных постоянных С₁ и С₂, т.е. u(x, y) = C₁ ln (x² + y²) + C₂.

Аналогичным образом можно показать, что гармонические функции вида u= f() и u = f(xy) соответственно имеют вид

u(x, y) = C₁ arctg + C₂, u(x, y) = C₁ xy + C₂.

С другой стороны, пользуясь условиями Коши-Римана, аналитическую функцию f(z) можно восстановить, если известна ее действительная часть u(x,y) или мнимая часть v(x,y).

Для того чтобы функция u(x, y) (соответственно v(x, y)) была действительной (мнимой) частью дважды непрерывно дифференцируемой функции комплексного переменного необходимо и достаточно чтобы эта функция была гармонической [1]. Гармоническая функция v, связанная с гармонической функцией u условиями Коши-Римана называется сопряженной с u.

Теперь найдем аналитическую функцию ω = f(z) по известной ее действительной части

u(x, y) = C₁ ln(x² + y²) + C₂.

Так как = C₁, то по первому условию Коши-Римана должно быть

,

значит = С₁. Откуда

v = C₁dy = 2C₁ arctg + φ(x),

где функция φ(х) пока неизвестна.

Дифференцируя V(x, y) по х и используя второе условие Коши-Римана, получим

φ'(x) = 0, т.е. φ(x) = C, где С – const.

Тогда f(z) = (C₁ ln(x² + y²) + C₂) + (2C₁ arctg + C₃)i,

или f(z) = C₁ ln|z|² + C₂ + (2C₁ arg z + C₃)i.

Аналогично можно восстановить мнимые или действительные части для остальных случаев.

Литература:

1. М.Л.Краснов, А.И.Киселев, Г.И.Макаренко. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981.

2. А.П. Мустафаев. Некоторые частные решения уравнения Лапласа.

Материал IV Межд. науч. прикл. конф.Научная мысль информационного века – 2008. Том 13. Publishing House “Education and Science” ч.о.Прага.

3. Е.Д.Соломенцев. Функции комплексного переменного и их применение. – М.: Высшая школа, 1988.