Математика/ 5. Математическое моделирование

Д.т.н. Айдосов А.А., д.т.н. Айдосов Г.А., д.т.н. Заурбеков Н.С., Заурбеков И.С., Заурбеков Б.Н.

КазНУ им. Аль-Фараби, КазТрансГаз, КазЭУ им. Т.Рыскулова, КазНТУ им. К.Сатпаева, Академия КНБ РК, Магистратура Нацбанка РК

Параметризация конвективных процессов в численных прогнозах

 

Конвекция является механизмом стабилизации неустойчивых атмосферных процессов. Процессы влажно-конвективные движения передают энергию из нижних слоев атмосферы в верхние очень эффективно. Конденсационные процессы в кучевых облаках по пространственным и временным масштабам более мелкие процессы, поэтому при расчетах крупномасштабных движений необходимо использовать приемы параметризации влажной конвекции.

Существует множества методов  параметризации. Мы рассмотрим три наиболее существенных подхода.

1. Оайама  [1] предложил своеобразную форму параметризации конвекции, основанную на некотором свойстве атмосферы в тропической области. По его мнению, частицы из пограничного слоя всегда оказываются теплее окружающего и способны проникать до больших высот, поэтому в уравнение притока тепла вводит дополнительный приток тепла за счет конденсации  :  ,  где    – вертикальная скорость на верхней границе погранслоя;  – некоторый параметр, являющийся функцией пространственных координат, характеризующий степень передачи потока тепла, идущего с пограничного слоя в верхние уровни. Известны несколько способов задания  но они мало апробированы на практических моделях. Например в  [2]  предполагается использовать

=,                                                                                              (1)

где   – крупномасштабные вертикальные движения.

Это следует из предположения, что приток от конденсации целиком идет на компенсацию охлаждения за счет адебиатического подъема. Сам Оайама  в [1]  предлагал:

=  ,                                                                                (2)

где  – эквивалентно-потенциальная температура. Индекс 0 соответствует пограничному слою, 1 – окружающему пространству, а  2 – облакам.

П.Ю.Пушистов [3] в экспериментах по моделированию зональной экваториальной циркуляции предложил:

,                                                                                       (3)

 

Хайаши [4]  и Т.Нитта [5]  строили   по данным наблюдений.

Отметим, что  в форме  (2), (3) можно принять только в тропических районах, где действует механизм проникающей влажной конвекции, начинающейся с планетарного пограничного слоя. В умеренных широтах конвективные процессы могут начаться с высот, лежащих выше пограничного слоя, и поэтому надо задать исходя из других гипотез.

Предлагаемом способе конвективное нагревание распространяется до 100 миллибаровой поверхности и достигается благодаря непосредственному перемешиванию облачного и окружающего воздуха. Этот же механизм осуществляет приток влаги в окружающую атмосферу. Пограничный слой в этом способе является своего рода непрерывным источником энергии, которая перераспределяется на вышележащих уровнях.

2. Другой метод принят из моделей по общей циркуляции атмосферы  [6].   Предполагается, что благодаря  , перемешивание происходит мгновенно, что условно неустойчивая порция атмосферы “замещается” кучевым облакам, т.е. влажноадиабетической стратификацией. Требование, чтобы приспособленная энергия устойчивости      в точке сетки была равна интегралу по вертикали от неприспособленного энергии устойчивости, является гарантией того, что не будет наблюдаться резкого изменения энергии вследствие приспособления. Приспособление осуществляется, если атмосфера устойчива и относительная влажность больше 100%.  Этот метод является наиболее экономичным и простым для целей длительного интегрирования.

3. Существует метод, основанный на идее Аракавы [2]. По его идее, если некоторый поток массы должен подниматься влажноадиабатически в облаке, то наблюдается компенсационное движение вне облака. В этом методе нагревание осуществляется как за счет переноса скрытой теплоты конденсации в верхние уровни, так и за счет адебиатического нагревание окружающего воздуха на всех уровнях. Степень нагревания определяется распределением энергии устойчивости .  Если на нижнем уровне энергия устойчивости больше, чем на вышележащем уровне, то энергия передается посредством конвекции в верхние уровни в течение некоторого времени релаксации.  Если энергия не получает снова дополнительной порции из пограничного слоя за счет конвергенции трения и турбулентных потоков, то условная неустойчивость атмосферной модели удаляется в течение этого времени  в сторону устойчивости.

Мы предлагаем применить другой подход, предложенный Аракавой и Шубертом [7]. В глобальных, крупномасштабных моделях в любой момент времени возникающая энергия сухо- или влажноустойчивости контролируется вертикальным турбулентным обменом таким образом, что в результате этого механизма температурная стратификация атмосферы и распределение влажности стремятся приблизить устойчивость к нейтральному состоянию. Нейтральное состояние характеризуется вертикальными распределениями  и  , и они связаны между собой уравнением гидростатики:

.                                                                                    (4)

Нейтральную температурную стратификацию определяем как в [8]:

                                                         (5)

Здесь  ,    – сухо- и влажноадиабатические градиенты;  r – относительная влажность. Значение принимается постоянным и подбирается в процессе экспериментов.

 находим по данным вертикального распределения  T  и  m, а     путем интегрирования уравнения:

  с начальным условием:          .                       (6)

Также из уравнения гидростатики получим:

.                                                                                     (7)

Пусть неустойчивость реализуется путем вертикального турбулентного обмена, как в [9], с помощью итерационного процесса:

,

где звездочкой обозначены приспособленные величины;   – время релаксации итерационного процесса. Итак, получили уравнение:

.                                                                      (8)

(8) легко решается методом прогонки при заданных T*. Если в модели температура не прогнозируется явно, то аналогичная задача должна быть решена для  [9]:

,                                                   (9)

при заданных значениях    на границах.

А приток тепла за счет конвективного нагревания:

.

Общая энергия   консервативна в частице в пределах рассматриваемого объема. Условие консервативности можно заменить условием отсутствия диссипации:

.                                                                                        (10)

 

Известно, что  ,  или с помощью (8) получим:

.                                                                       (11)

Решая уравнение, получим  отношение смеси или другими словами, приспособленное распределение влажности. Легко определить теперь  T*-T,  тогда из уравнения Клаузиуса-Клапейрона определяем насыщающее отношение смеси, соответствующее приспособленной температуре:

.                                                                    (12)

Необходимо определить общее количество воды, выделившееся в результате приспособления, что выполнимо путем суммирования по слоям:

,                                                                                         (13)

где  – относительная влажность.

Проверяем условие   . Если оно выполняется, то вся описанная выше процедура продлевается снова. Заметим, что отрицательное значение  Q  говорит о том, что конденсация фактически не происходила и уравнение для отношения смеси (11)  не было необходимости решать. В этом случае находятся  T* или  по  (8),  (9)  и    по (12), а  m  остается без изменений.

 

Литература

1.        Ooyama K. Numerical simulation of tropical cyclones with an axi- summetric model. – Prоc. of the Symp. on NWP. – Tokyo, 1968.

2.        Arakawa A. Parameterization of cumulus convektion. Proceedings of the WMO/IUGG Simposium  on  Numerical  Weather Prediction. –Tokyo, 1968. – P.IV-7 to IV 8-12.

3.        Пушистов П.Ю.  О планетарном пограничном слое атмосферы в области экватора // Изв.АН СССР. Сер.: физика атмосф. и океана.– 1970.– (Т.6) №6.

4.        Hayashi Y. A theory of large-scale equatorial waves generated by condensation heat and accelerating the zonal wind//J.of Met.Soc.Jap.– 1970.-V.48.– P.140-160.

5.        Hitta T. Energy budget of wave disturbances over the Marshall Isiands during the years of 1956 and 1958 // J. of Met.. Soc. of Japan. – V.50. – 1972. – N2. – P.71-84.

6.        Kasahara A., Washington W.M. General circulation exsperiments with a sixlayer NCAP model, including orography, cloudiness and surface temperature calculations // J. of Arm. Sc. – V.28. – 1971. – N5. – P.657-701.

7.        Arakawa A., W.H.Schubert. Interaction of a cumulus cloud encemble witch the large-scale environment // J. of Atm. Sc. Part I. V.31.– 1974– N3– P.674-701.

8.        BenwellG.R.R., A.J.Gadd,J.F.Keers, M.S.Timpson, P.W.White. The Bushby-Timpson 10-lebel model  on  a  fine  mesh. – London, 1971. – 59 р. (great Brit. Met. ffice, Sc. Paper N32).

9.        Cordy G.A.  et.  al.  A  general  circulation  model  of  the atmosphere suitable for long period  integrazion // QJRMS. – V.98. – 1972. – N418. – P.809-833.