Математика/Прикладна математика

Д.ф.-м.н. Ємець О.О., Устьян Н.Ю.

Полтавський університет споживчої кооперації України

Застосування різних критеріїв прийняття рішень

в ігрових комбінаторних задачах на переставленнях

Матричні задачі теорії ігор з комбінаторними обмеженнями, які визначаються переставленнями, на стратегії одного гравця, і в яких другим гравцем виступає природа (див., наприклад [1]), можно віднести до класу «ігор з природою». В таких задачах на стратегії гравця накладаються наступні обмеження: де – множина переставлень з елементів вектора

Розглянемо застосування різних критеріїв прийняття рішень для таких задач.

1. Критерій максимального математичного очікування виграшу. Оптимальною за даним критерієм вважають ту стратегію, при виборі якої значення математичного очікування виграшу максимальне:

для

Впорядкуємо коефіцієнти і елементи множини по зростанню: отримані елементи позначимо і відповідно. Тоді відповідно до теореми 3.1 і зауваження 3.3 з [2]

2. Критерій недостатньої основи Лапласа. Оптимальною за даним критерієм вважають ту стратегію, при виборі якої значення середнього виграшу максимальне:

для

Як і в попередньому критерії використаємо теорему 3.1 і зауваження 3.3 з [2] – впорядкуємо суми при фіксованих і елементи множини по зростанню: отримані елементи позначимо і відповідно. Тоді

3. Максимінний критерій Вальда був розглянутий для задач комбінаторної оптимізації ігрового типу в [1].

4. Критерій мінімаксного риска Севіджа. Складається матриця рисків Оптимальною за даним критерієм вважається та стратегія, при якій досягається: Було доведено, що ця задача еквівалентна наступній:

(1)

де

Цю задачу комбінаторної оптимізації на переставленнях можна розв’язувати методом, наведеним в [3].

5. Критерій песимізма-оптимізма Гурвіца. Оптимальною за цим критерієм вважається та стратегія, при якій досягається: де – так званий коефіціент песимізма, який знаходиться в інтервалі [0,1] та задається за умовою. Було доведено, що ця задача еквівалентна наступній:

Знайти

при обмеженнях

Цю задачу можна розв’язувати методом комбінаторного відсікання для частково комбінаторних задач (див, наприклад [4]), оскільки вектор – перестановка з множини а і – некомбінаторні змінні.

6. Критерій Ходжа-Лемана. Оптимальною за даним критерієм вважається та стратегія, при якій досягається: де – параметр достовірності інформації про розподіл ймовірностей станів природи, значення якого знаходиться в інтервалі [0,1] та задається за умовою. Було доведено, що ця задача еквівалентна задачі (1) для критерію мінімаксного риска Севіджа, тільки тут Цю задачу комбінаторної оптимізації на переставленнях можна розв’язувати методом, наведеним в [3].

Литература:

1. Ємець О.О., Устьян Н.Ю. Ігрова комбінаторна модель однієї задачі сільськогосподарського виробництва //Матеріали VII Міжнародної науково-практичної конференції "Наука і освіта '2004" – Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2004, том 70 – С.46-49

2. Стоян Ю.Г., Ємець О.О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації. – К.: ІСДО, 1993. – 188 с.

3. О.О.Ємець, Н.Ю.Устьян Розв’язування ігрових задач на переставленнях // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2007. – №3. – С. 47-52.

4. Емец О.А., Емец Е.М. Отсечения в линейных частично комбинаторных задачах оптимизации на перестановках // Экономика и матем. методы. – 2001. –Т. 37, №1. – С. 118-121.