Математика /4. Прикладная математика/

К.т.н. Сластин Ю.В., Федоренко В.Е.

Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства

имени П. Василенка

ХНТУСХ

Конструирование обводов кубических полиномов без точек перегиба.

В инженерной практике при конструировании деталей сложных технических форм часто приходится решать следующую задачу.

Первоначально контур детали определен рядом своих точек (дискретно). Для получения непрерывного контура эти точки нужно соединить плавной кривой, составленной из дуг различных кривых, стыкующихся в заданных точках. Полученная кривая называется обводом заданных точек.

В качестве кривых обвода наибольшее распространение получили кривые второго порядка [1].

В рассматриваемой работе в качестве кривых обвода применяются кривые третьего порядка.

Пусть нужно построить обвод точек М и N , с заданными в них значениями первых производных и с помощью полинома третьего порядка.

, (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Нетрудно проверить, что при таком выборе коэффициентов полинома (1) выполняются граничные условия:

; ;

; ,

полином третьего порядка имеет одну точку перегиба, наличие которой нежелательно при построении обводов технических форм.

В данной работе предлагается способ выведения такой точки за пределы рассматриваемого интервала с помощью замены системы координат.

Вторая производная полинома (1):

(6)

является линейной функцией и имеет один действительный корень

, (7)

что соответствует одной точке перегиба исходного полинома.

Точка перегиба находится вне рассматриваемого интервала или на его концах, или выполняются неравенства:

или (8)

- точка перегиба находится слева от рассматриваемого интервала и точка перегиба точка перегиба находится справа от рассматриваемого интервала, если

или (9)

После подстановки (2) и (3) в (8) и (9), неравенства принимают вид:

(10)

и

(11)

Неравенства (10) и (11) справедливы при h>0. При h<0 знак неравенства нужно изменить на противоположный.

Если условия (10) и (11) не выполняется, то поворотом вокруг начала координат найдем ту систему координат , в которой бы они выполнялись. Координаты точек M и N в системе определяются по формулам преобразования системы координат.

(12)

Выведем формулу определения величин и через заданные значения , и угол поворота системы координат.

Уравнение касательной к линии обвода и точке в заданной системе имеет вид : , отсюда

(13)

Её уравнение в новой системе координат получается с помощью преобразования:

(14)

После подстановки (14) в (13) получим

(15)

Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом, которым является тангенс угла наклона касательной к оси . Таким образом

(16)

Аналогично

(17)

Определим угол , при котором выполняется неравенство (10), имеющее в системе вид:

, (18)

где .

Подставляя в (18) и выражение по формулам (12), (16) и (17) и, решая относительно , получим

(19)

Зная значение, при котором выполняется равенство (19), легко определить при каких значениях будет выполняться и неравенство (10). Об этом можно судить, подставив в (10), некоторые значения, близкие к определенному по формуле (19).

Пример:

Построить обвод точек М(2, 5) и N(3, 2); = -1; = 0,5.

По формулам (10), (11), (12), (13) и (14) находим А = 5,5; В = -7,5; С = -1; D = 5.

Корень второй производной является точкой перегиба

Линии обвода и находится в пределах рассматриваемого интервала изменения аргумента.

Такой обвод представлен на рис. 1 штриховой линией.

Рис. 1

Поворотом системы координат вокруг начала на угол перейдём к новой системе, в которой новый обвод не будет иметь точек перегиба.

Для этого по формуле (19) определим , что соответствует 78°1'. Взяв =80°, убеждаемся в выполнении условия (10), что обеспечивает отсутствие точек перегиба у обвода.

Определяя координаты исходных точек и значения производных в них в новой системе координат и вычисляя коэффициенты полинома по приведенным выше формулам, строим обвод заданных точек (рис.1).

Получим =5,273; = -1,1; = 2,493; = -2,602; = 1,5; = -1,29.

А = -0,113; В = 0,033; С = 1,5; D = -1,1.

Уравнение кривой обвода имеет вид:

Предлагаемым способом обвод строится только на участках, имеющих точку перегиба. Обратным преобразованием он переводится в заданную систему координат. При этом формой обвода можно управлять с помощью угла поворота системы координат, меняя его в допустимых пределах, определенных из решения соответствующих неравенств.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Андреев В.А. и др. Расчёт и построение контуров самолета на плазе. Оборонгиз. 1960.