Математика / 5. Математическое моделирование

Литвиненко Е.И.

Херсонский национальный технический университет, Украина

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД КОНСТРУИРОВАНИЯ ИЕРАРХИЧЕСКИХ БАЗИСОВ

СЕРЕНДИПОВЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Постановка проблемы. В методе конечных элементов (МКЭ) используются элементы серендипова семейства [1,2], которые представляют собой прямоугольники с параллельными координатным осям сторонами, на которых расположены узлы интерполяции. Построение системы базисных функций на серендиповых конечных элементах (СКЭ) - это вопрос, который волнует исследователей уже более 40 лет. Особенно актуальны вопросы построения пространственных серендиповых аппроксимаций высших порядков.

Анализ предшествующих публикаций. На данный момент известны и описаны в литературе следующие способы построения базисов на КЭ серендипова семейства: матричный способ [1]; интерполяционная процедура Тейлора [2]; вероятностно-геометрический способ [3]; геометрический способ [4]; комбинированный алгебро-геометрический метод [5]. Наблюдение за поведением поверхностей при конструировании базисных функций СКЭ [6] позволило получить еще один способ: аналитический метод конструирования иерархических функций формы СКЭ, который благодаря своей простоте, наглядности и универсальности, эффективен как на плоских, так и на пространственных элементах. В [7] обсуждаются “иерархические формы, когда функции высших степеней последовательно получаются с помощью добавления соответствующих слагаемых” для одномерных КЭ. Как пишут авторы, такие формулировки оказываются наиболее эффективными и с вычислительной точки зрения. Далее авторы пишут, что “При имеющемся наборе одномерных иерархических базисных функций генерирование иерархических базисных функций для прямоугольных елементов почти тривиально”[7] . На конечно-элементной сетке иерархические элементы используются для адаптивного уточнения в областях, где неизвестная функция меняется особенно быстро. Однако, авторы [7] замечают, что “число многочленных компонент, которые могут быть получены с помощью использования только граничных узлов, недостаточно, чтобы дать полное многочленное представление для при . Следовательно, для таких элементов высших степеней необходимо опять ввести внутренние узлы или соответствующую иерархическую степень свободы” (где - интерполяционный полином; - степень полинома).

Цель статьи – на двадцатиузловом пространственном КЭ показать новый подход к построению базисов серендиповых КЭ, который использует приемы иерархического построения интерполяционных полиномов на КЭ. На серендиповых КЭ высших порядков можно получить бесчисленное множество базисов с помощью добавления поверхности второго порядка с соответствующим весовым коэффициентом .

Основная часть. Для серендипового КЭ-20 (рис. 1) в литературе [1] описан единственный базис. Базисные функции для первого и девятого узлов записаны в формулах:

,	(1)
.	(2)

	.
Рис. 1 Серендипов КЭ-20

В отличие от лагранжевой интерполяции, где интерполяционный полином единственный, задача серендиповой интерполяции решается неоднозначно. Множество базисов получается из формул (1) и (2) наложением поверхности второго порядка на плоскость нулевого уровня (для ) и (для ):

,	(3)
.	(4)

Проанализируем поверхности второго порядка: для этого множитель, который записан в последней скобке формулы (3) представим в виде, удобном для анализа:

.

(5)

Условие, при котором уравнение (5) задает конус, имеет вид:

,

; .

(6)

Если при этом равен нулю и дискриминант старших членов, то поверхность распадается на две плоскости:

, , .

(7)

Ниже на рис. 2-6 показаны поверхности нулевого уровня функции , которые задаются уравнением (5) .

При - двуполостный гиперболоид (рис. 2):

Рис. 2

При - вырождение поверхности в слившиеся плоскости (рис. 3) :

Рис. 3

При - двуполостный гиперболоид (рис. 4):

Рис. 4

При - действительный конус (рис. 5):

Рис. 5

При - однополостный гиперболоид (рис. 6):

Рис. 6

Рассмотрим множитель в последней скобке формулы (4) для :

.

(8)

Данная поверхность всегда представляет две плоскости, т.к. дискриминанты этой поверхности тождественно равны нулю:

, .	(9)
, .		(10)

Важное значение для определения специфических особенностей модели имеют интегральные характеристики, например, поузловое распределение равномерной массовой силы , которое задается тройным интегралом по области конечного элемента от соответствующей базисной функции, взвешенной с объемной плотностью [1]:

.

(11)

Так как базисная функция содержит параметр , то представляет собой функцию, зависящую от . На рис. 7 показаны графики функций и .

		(12)
		(13)
Рис. 7 Функции поузлового распределения равномерной массовой силы для и

Для практических расчетов лучше использовать базисы для , т.к. при исчезает негативизм в поузловом распределении, а при - возникает физически противоестественное распределение.

Выводы. Показан аналитический метод иерархического конструирования базисных функций на пространственном серендиповом конечном элементе, основанный на суперпозиции плоскостей и поверхности второго порядка. Впервые на СКЭ-20 получено бесконечное множество базисов с одинаковым поведением на ребрах КЭ. Данный подход может быть обобщен на СКЭ-32 и СКЭ-44.

Литература:

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. ― М.: Мир, 1975. ― 541 с.

2. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Р.Галлагер. ― М.: Мир, 1984. ― 428 с.

3. Хомченко А.Н. Некоторые вероятностные аспекты МКЭ / А.Н. Хомченко ; Ив.-Франк. ин-т нефти и газа. ― Ивано-Франковск, 1982. ― 9 с. ― Деп. в ВИНИТИ 18.03.82, №1213.

4. Литвиненко Е.И. Геометрическое моделирование трехмерных сирендиповых КЭ /Литвиненко Е.И., Хомченко А.Н. //Сб.тр. ”Прикл. геометрія та інжен. графіка” ― Вып. 4.― Т.1. ― Мелитополь: ТГАТА. ― 1997. ― С. 40-42.

5. Хомченко А.Н. Обернена задача побудови базисів тривимірних серендипових скінченних елементів / А.Н. Хомченко, О.І. Литвиненко, І.О. Астіоненко // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці / Тавр. державний агротехн. ун-т. ― Вип. 4, т. 41. ― Мелітополь: ТДАТУ, 2008. ― С. 9-19.

6. Хомченко А.Н. Новый подход к построению базисов серендиповых элементов /А.Н. Хомченко, Е.И. Литвиненко, И.А. Астионенко // Геом. та комп. моделювання. Праці / Харківський держ. ун-т харчув. та торгівлі. ― Вип. 23. ― Харків: ХДУХТ, 2009. ― С. 90-95.

7. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация /О.Зенкевич, К.Морган. ― М: Мир, 1986. ― 318 с.