Карачун В.В., Мельник В.М.

Національний технічний університет України «КПІ»

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ЗБУРЕНОГО СТАНУ

ПЛОСКОЇ ПЕРЕШКОДИ. ДВОВИМІРНА ЗАДАЧА

Із зменшенням дистанції до підводної цілі, розрахункові моделі апарату виявлення повинні бути переглянуті таким чином, щоб запобігти виникненню небезпеки залишку поза увагою принципових явищ, які обумовлюють дійсну природу процесу.

Проходження акустичних хвиль крізь плоскі перешкоди у вигляді нескінченних пластин описується суттєво спрощеним математичним апаратом і значно знижує трудоємність аналізу. Для вивчення окремих питань цього цілком достатньо і часто-густо такими моделями обмежується вивчення динаміки пружної взаємодії плоских перешкод із акустичною хвилею.

Разом з тим, імітаційне (наближене) моделювання процесу призвело, як з’ясувалося, до спрощень, за яких результати теоретичних і експериментальних досліджень стали призводити до не погоджених між собою висновків. В першу чергу це стосується прояву локальних особливостей.

Вихід із ситуації полягає в максимальному наближенні імітаційних механічних і математичних моделей до реальних. Стосовно вивчаємих задач – це вимагає переходу від нескінченних пластин до пластин обмежених розмірів.

Аналіз згинних коливань плоских тіл обмежених розмірів ефективно проводиться шляхом представлення збурення та прогину пластини подвійним рядом в прямокутній області. Цей метод має найбільш просту математичну інтерпретацію, але дозволяє, разом з тим, досить глибоко вивчати динаміку тіл обмежених розмірв.

Скористуємося ним для подальшого.

Розглянемо двовимірну задачу. Припустимо, що довжина пластини дорівнює , ширина – , товщина – і стала на всій площині. Вважаємо також, що товщина набагато менша інших розмірів, тобто

; .

Матеріал пластини приймаємо абсолютно пружним, однорідним та ізотропним на всій площині. Довжину згинної хвилі вважаємо більше ніж у шість раз перевищуючою товщину, що дає можливість використовувати рівняння тонкої пластини.

Акустичне поле приймається дифузним.

За введених обмежень, можна стверджувати, що бічні грані виділеного елементу площини довжини і ширини за весь час руху залишаються паралельними площинам та і перпендикулярними до серединної площини (рис. 1).

Якою б функцією координат , не був прогин пластини, його завжди можна навести в прямокутній області подвійним рядом за нормальними функціями, тобто

, (1)

де , – числа напівхвиль згину відповідно вздовж осей та ; – зміщення точки поверхні пластини з координатами , в напрямку ; (рис. 2).

Легко бачити, що кожен член ряду (1) задовольняє граничним умовам виду

(2)

Тепер можна обчислити максимальну потенційну енергію , що накопичується при згинній деформації.

З цією метою, достатньо означити максимальне значення потенціальної енергії елементарної ділянки (рис. 1), а потім одержаний вираз зінтегрувати у двох напрямках:

(3)

де – циліндрична жорсткість поверхні пластини; – модуль пружності; – коефіцієнт Пуасона.

Величина максимальної кінетичної енергії поперечних коливань пластини обчислюється за формулою

, (4)

де – питома маса; – колова частота.

Застосуємо загальне рівняння динаміки для побудови диференціального рівняння пластини в головних координатах. Одержуємо:

, (5)

де – власна частота коливань; – узагальнена сила, яка містить той фізичний зміст, щоб добуток являв собою віртуальну роботу, а чисельно сила обчислюється як коефіцієнт при варіації узагальненої координати .

Отже, якщо падаючу звукову хвилю навести у вигляді

, (6)

де – амплітуда тиску відповідної форми і , – числа напівхвиль звукового тиску, які приходяться на довжину і ширину, тоді її віртуальна робота обчислюється з формулою

. (7)

Приймемо для конкретності

, (8)

де – амплітуда тиску; – хвильове число. Тоді, з виразу (7) походить, що

(9)

де ; .