К.т.н. Рафиков Г.Ш., Звягина А.В.

Донецкий национальный технический университет, Украина

Оптимальное управление системой двух роботов типа PUMA-560 при выполнении сборочных технологических операций с использованием скользящих режимов

Общая постановка проблемы. В наше время системы управления промышленными роботами довольно просты и по существу состоят из некоторого числа независимых контуров сервоуправления по положению для раздельного управления измерением угла поворота в каждой кинематической паре. Такая система управления имеет постоянные, заранее определенные коэффициенты и не учитывает сложные взаимовлияния, существующие между различными степенями подвижности манипуляторов[1]. В результате манипулятор существенно ограничен диапазоном выполняемых задач, скоростью операции и приложенной нагрузкой. Очевидно, что для существенного расширения возможностей манипуляционного робота необходимо использовать новейшие принципы управления.

Динамическое управление манипулятором может осуществляться с помощью классических методов с использованием разложения нелинейных дифференциальных уравнений в ряд Тейлора и построением регулятора с переменным коэффициентом усиления, полученным для конкретной рабочей точки. Недостатком такого подхода является неточность отражения динамической модели манипулятора вследствие пренебрежения членами высокого порядка малости и получение регулятора с переменным коэффициентом усиления, определенным только для конкретной точки[2,3].

Применение скользящих режимов для этой многосвязной нелинейной задачи высокого порядка позволило организовать инвариантные к моментам нагрузки и механическим параметрам движения, описываемые независимыми линейными однородными дифференциальными уравнениями относительно каждой из управляемых величин.

Постановка задачи синтеза оптимального регулятора. В данной работе рассматриваются два манипуляционных робота типа PUMA-560, которые, при выполнении сборочных операций, подвержены динамическим взаимовлияниям между различными степенями подвижности. Цель данной работы – оптимизация управления системой двух роботов с использованием скользящих режимов.

Рассмотрена характеристика промышленного робота для выполнения сборочных операций. Проведен анализ существующих критериев управления и линеаризации.

Был рассмотрен новейший подход к линеаризации класса сложных нелинейных систем. Получено уравнение динамики системы двух промышленных роботов типа PUMA-560 в форме Лагранжа-Эйлера[4].

Уравнения динамики для системы двух манипуляционных роботов в общем виде имеют вид:

, (1)

где: i=1,2;

- вектор переменных степеней подвижности i;

- вектор измеряемых сил и моментов i;

· - вектор моментов (сил) в степенях подвижности робота;

J - матрица Якоби робота i;

Di - матрица коэффициентов, устанавливающих связь действующих в сочленениях моментов с ускорениями обобщенных координат.

Ei - матрица коэффициентов, устанавливающих связь действующих в сочленениях сил и моментов со скоростями изменения обобщённых координат.

Линеаризована динамическая модель системы двух роботов-манипуляторов с декомпозицией выходных переменных и развязкой входов/выходов на основе диффеоморфного преобразования координат и нелинейной обратной связи по состоянию. В результате чего новая преобразованная система является линейной в Бруновской канонической форме с развязанным выходом [5]. Такая линеаризованная динамическая система описывается математической моделью вида:

, (2)

где:

- вектор состояния в преобразованной системе координат размерности (12x1); А – блочно-диагональная матрица размерности (12x12), характеризующая декомпозицию состояний шарниров преобразованной модели; В – блочно-диагональная матрица размерности (12x6), отражающая декомпозицию управляющих воздействий на шарниры преобразованной модели робота; С – блочно-диагональная матрица размерности (6x12), определяющая декомпозицию выходных координат шарниров преобразованной модели.

Учтено влияние динамики двигателей на управление рукой робота с нелинейной обратной связью. Исследования показывают [4], что регулятор, основанный на динамике манипулятора и динамике двигателей, даёт меньшие ошибки слежения по сравнению с регулятором, основанным только на динамике манипулятора, кроме того, такой регулятор работоспособен даже при наличии неточностей моделирования динамики манипулятора.

Рассмотрена постановка задачи динамической оптимизации управления движением системы двух роботов с использованием скользящих режимов[6]. Задача оптимизации движения в скользящем режиме состоит в следующем: для системы необходимо выбрать такие уравнения поверхностей разрыва, которые позволяют при движении системы в скользящем режиме минимизировать критерий оптимальности вида:

, (3)

где Q - неотрицательно определённая симметричная матрица размерности (nхn), R - положительно определённая симметричная матрица размерности (mxm), m<n.

При таком движении поверхность разрыва определяется следующим выражением:

s=s₀(₁)+ ₂=0, (4)

где s₀(₁) - произвольная функция вектора ₁.

Решена задача синтеза алгоритмов оптимального управления линеаризованной динамической системы с квадратичным критерием качества с использованием скользящих режимов. Задача синтеза состоит в выборе такой функции s₀(₁), что при движении по многообразию s=0 функционал вида (4) достигает минимума. Из постановки задачи следует, что в начальный момент времени должны быть заданы компоненты вектора размерности (n-m), а оставшийся компонент вектора состояниянаходится из (4).

В результате получили задачу: найти оптимальное управление в системе

, (5)

где: (6)

размерности m с в качестве управления и критерием, который можно представить в виде

(7)

где: (8)

Тогда уравнение плоскости разрыва определяется в следующем виде:

(9)

После синтеза системы управления переменной структуры получим значение всех коэффициентов в управлении

(10)

где:

(11)

Для проверки работоспособности оптимальной системы с синтезированными алгоритмами управления использован пакет прикладных программ языка высокого уровня MATLAB 5,0 [7,8]. Получены переходные процессы для выходной величины. Из анализа переходных процессов видно, что процессы в системе затухают довольно быстро и не имеют запаздывания.

Изменение параметров системы, а это изменение всегда присутствует в реальных условиях эксплуатации, существенно не влияет на качество переходных процессов и на устойчивость системы в целом. На рисунке 2 показано, что переходные процессы изменились, их установившееся значение уменьшилось в два раза по сравнению с заданным воздействием при изменении параметров на 100%.

Рисунок 1 - График переходного процесса выходного сигнала при ступенчатом воздействии

Рисунок 2 - График переходного процесса выходного сигнала при изменении параметров на 100%

Экспериментальные исследования показывают, что одним из важнейших динамических параметров системы является период дискретности. Проведённое моделирование динамической системы показало, что наиболее приемлемым и оптимальным является период дискретности Т0=0.01с. При данном периоде дискретности обеспечивается, как это видно из рисунков 1-2, плавность переходных процессов и достаточно хорошее быстродействие. Уменьшение величины периода дискретности приводит к ухудшению качества переходных процессов динамической системы, а его увеличение приводит к расходящемуся переходному процессу, то есть к неустойчивости динамической системы.

Выводы:

С помощью указанного метода управления для взаимосвязанной нелинейной системы, которую представляют собой промышленные роботы, найдены, во-первых, компактные векторно-матричные уравнения динамики в форме Лагранжа-Эйлера; во-вторых, произведена "внешняя линеаризация" уравнений динамики роботов с применением нелинейной обратной связи по состоянию и нелинейного диффеоморфного преобразования, которые линеаризуют исходную нелинейную динамическую систему и осуществляют её декомпозицию на ряд развязанных линейных подсистем. С учётом влияния динамики двигателей на управление рукой робота с нелинейной обратной связью получены матрицы А, В и С; в-третьих, поскольку требуется осуществлять точное и плавное перемещение манипулятора, то на основе анализа критериев оптимальности в скользящем режиме сформулирована постановка задачи синтеза алгоритма оптимального управления, обеспечивающего минимум квадратичной функции потерь.

На основе разработанной схемы моделирования получены устойчивые переходные процессы системы, значительно уменьшена колебательность переходных процессов, повышено быстродействие.

Основываясь на вышеперечисленных результатах работы, можно сделать вывод о том, что система с переменной структурой обладает рядом таких преимуществ, как:

- простота реализации;

- нечувствительность к изменению в широких границах параметров объекта управления;

- повышение быстродействия системы;

- улучшение качества отслеживаемого сигнала.

Таким образом, при управлении системы двух промышленных роботов, наиболее целесообразным является использование алгоритма оптимального управления в системе с переменной структурой с использованием скользящих режимов.

Литература:

1. Охоцимский Д.Е. Роботизация сборочных процессов. М.: Наука, 1985.

2. Шахинпур М. Курс робототехники: Пер с англ.- М.: Мир, 1990.-527с.

3. Фу К., Гонсалес. Робототехника: Пер с англ.- М.: Мир, 1989.-624с.

4. Семёнов В.И Дифференциально-геометрические методы исследования управляемых динамических систем.// Кибернетика и вычислительная техника, 1978г. вып. 39.

5. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985.-296с.

6. Уткин В.И Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981г. -368с.

7. Tam T.J., Bejczy А. К., A. Isidori, and Y. L. Chen, Nonlinear feedback in robot arm control, in Proc. 23 rd IEEE Conf. Robotics Automat (Las Vegas, NV), 1984.

8. Y. L. Chen, Nonlinear feedback and computer control of robot arm, Ph. D. dissertation, Dept of System Science and Math., Washington Univ., St Louis, MO, Dec., 1984.