Математика / 5. Математическое моделирование

Челабчи В.В., Челабчи В.Н.

Одесский национальный морской университет, Украина

Численное моделирование течений в каналах

Рассматривается организация компьютерного моделирования применительно к задачам течения несжимаемой среды в каналах. Под каналом понимается последовательность элементов, через которые проходит один и тот же массовый расход среды.

Чаще всего процесс течения описывается в естественных переменных уравнением неразрывности (1) и уравнением Навье-Стокса в проекциях на координатные оси (2) – (4). К этим уравнениям добавляется уравнение давления (5). В случае турбулентных режимов используется одна из моделей турбулентности. Искомыми являются поля компонентов вектора скорости и поле давления.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

где x, y, z, τ – соответственно координаты и время;

V, U, W, P –компоненты вектора скорости и давление;

r, μ – плотность и коэффициент динамической вязкости среды.

Как правило, проводится расщепление задачи на две подзадачи: определение поля скорости и определение поля давлений. Согласование решений оговоренных задач проводится итерационно (глобальные итерации). Локальные итерации используются при решении каждой из подзадач.

Для решения оговоренных задач в рассматриваемом подходе используется модифицированный метод конечных разностей [1,2] в котором комплекс, включающий члены со вторыми и первыми производными аппроксимируется по трехточечной схеме (6).

(6)

Величина D может быть функцией решения. Тогда ее значение уточняется итерационным методом (локальные итерации). Расчетные зависимости для коэффициентов A₁, A₂, A₃ можно получить из аналитического решения уравнения вида (7) при постоянном значении правой части на отрезке оси ограниченном узловыми точками с индексами i-1 и i+1.

(7)

Одновременно можно из аналитического решения (7) получить аналогичную аппроксимирующую зависимость для первой производной (8), что важно при аппроксимации уравнения неразрывности:

(8)

В общем случае для задачи в трехмерной постановке уравнения (1) ÷ (4) с учетом (6) и (8) можно записать в компактном виде (9).

(9)

где V_i,j,k, U_i,j,k,, W_i,j,k – компоненты вектора скорости по осям x, y, z;

i,j,k – индексы узлов сетки соответственно по осям x, y, z;

a₁, a₂ … R₃, R₄ – коэффициенты разностных уравнений.

Минимизируя функционал d (10) можно переопределенную систему (9) привести к системе трех уравнений (11).

(10)

(11)

Полученную систему квазилинейных алгебраических уравнений удобно решать одним из прямых методов, уточняя на каждой локальной итерации значения коэффициентов a₁, a₂ … R₃, R₄.

Решение уравнения (5) проводится с использованием классической трехточечной разностной схемы. При расчете значений членов правой части используются аппроксимации типа (8).

Реализация граничных условий на стенках канала, как правило, не вызывает осложнений. Используются условия прилипаемости и непротекания. Для надежности отражения этих условий вблизи стенок канала используется измельченная сетка узлов.

Значительно сложнее задать граничные условия на выходе из канала. Рассмотрим несколько типов условий на выходе канала (12) - (14).

, (12)

, (13)

(14)

где - значение величины (V, U, W или P) в узле на границе,

s – индекс относящий величину к узлу на выходной границе,

L – направление, совпадающее с одной из координатных осей,

a, b, c – величины отражающие изменение величины F по направлению L в районе граничного узла.

Условие (12) для поля скорости используется редко, но его удобно использовать для поля давления, задавая постоянное давление на входной и выходной границах.

Условие (13) отражает линейное изменение величины в области граничного узла и согласно рис.1 соответствует разностному выражению (15).

(15)

где n – индекс узла на границе.

Условие (14) можно интерпретировать выражением (16).

(16)

где ¸ - номера шагов сетки по направлению от границы (рис.1).

Разностная аппроксимация (16) приводит к выражению (17).

. (17)

Исключительная ситуация деления на 0 обрабатывается алгоритмом счета.

Условие (17) применимо к любым режимам течения.

Для совместного решения подзадач (согласование поля скорости и поля давления) авторы используют следующий итерационный прием.

Вначале задается предварительное распределение компонентов вектора скорости в области решения, граничные давления и эпюра скорости на входе. Выделяется ряд сечений ¸ перпендикулярных основному направлению потока (рис.2).

На каждой глобальной итерации для сечений определяются значения объемного расхода затем среднее (по всем m сечениям канала) и поправочный коэффициент для уточнения эпюры скорости на входе (18).

, , , (18)

где символ * относит величину к предыдущей глобальной итерации.

Рассмотренная методика применялась при исследованиях течений на ламинарных и переходных режимах, когда отслеживалась эволюция крупных вихрей. На рис.3 для одного момента времени показано поле скорости в процессе образования вихрей. Следует отметить, что при ламинарных режимах, после выхода на устойчивое течение, поля скоростей стабилизировались и в дальнейшем не менялись. При переходных режимах наблюдалось перемещение во времени вихревых зон и их деформация.

Полученные подробные решения позволили моделировать процесс теплопереноса и найти зависимости эффективных коэффициентов обмена от параметров процесса и конструктивных особенностей каналов.

Результаты исследований использовались при компьютерном моделировании процессов в охладителях воздуха косвенного испарительного типа [3,4].

Литература

1. Меркт Р.В, Челабчи В.В., Челабчи В.Н. Устойчивая разностная схема для решения задач гидромеханики и конвективного переноса / Тезисы докладов 1 международной конференции "Численные методы в гидравлике и гидромеханике". - Донецк: ДонГУ, 1994. с.83.

2. Merkt R.V., Chelabchy V.V. Computer simulation of associated transfer processes. Збірник наукових праць, Тематичний випуск “Системний аналіз, управління та інформаційні технології”, -Харків: НТУ “ХПІ”, -2004, № 2, с. 37-47.

3. Меркт Р.В., Челабчи В.В., Челабчи В.Н. Оптимизация воздухоохладителей испарительного типа // "Промышленная теплотехника" том 25, № 4, 2003. –С. 167-168.

4. Латий Н.Ф., Челабчи В.Н. Исследования режимов работы охладителя воздуха непрямого испарительного типа // Матеріали міжнородної НПК “Наукові дослідження –теорія та експеримент ‘2005’. Том 9. – Полтава:ПНТУ, 2005. – с. 30 – 32.