Математика/5. Математическое моделирование

                                                                           Ибрагимов Н. С.

                                           Бакинский Государственный Университет, Азербайджан                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

Об одной задаче идентификации для многомерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики с чисто мнимым коэффициентом в нелинейной части

                                                                

         Аннотация.       В  данной   работе  рассматривается   задача  идентификации об  определении  комплекснозначного    коэффициента  многомерного    стационарного уравнения  квазиоптики с чисто мнимым   коэффициентом  в  нелинейной  части этого    уравнения.  При  этом    доказываются    теоремы   существования   и единственности  решения  задачи идентификации. Кроме того,  для решения задачи идентификации   устанавливается   необходимое   условие  в  виде вариационного  неравенства.

         Ключевые слова.  Уравнения квазиоптики, комплекснозначный  коэффициент, задача идентификации.                                  

         Известно, что многомерное нелинейное стационарное уравнение квазиоптики возникает при изучении распространения световых волн в нелинейных средах, когда процесс распространения не зависит от времени . При прохождении световых волн через неоднородной нелинейной среды коэффициенты уравнения, характеризующие показателъ преломления и поглощения среды, могут оказатъся неизвестными функциями . Поэтому изучение подобных процессов делает актуалъными исследования, проводимые по обратным задачам об определении коэффициентов многомерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики.

         Данная работа посвящена изучению задачи идентификации для многомерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики об определении коэффициентов уравнения по финальному наблюдению, когда нелинейная частъ уравнения содержит чисто мнимый коэффициент. Следует отметитъ, что задачи идентификации, то есть вариационные формулировки обратных задач об определении толъко началъного фазового профиля распространения световых волн с известными показателями или только показателя преломления среды с известным началъным фазовым профилем ранее подробно изучены, например, в работах и др.

         Пустъ - ограниченная областъ двумерного евклидова пространства -граница области  которая предпологается достаточно гладкой, произвольная точка области , заданное число, -боковая поверхность цилиндра . Пусть - лебегово пространство измеримых функций в области , суммируемых со со степенью ; банахово пространство, состоящее из всех определенных и раз непрерывно дифференцируемых на функций со значениями в банаховом  пространстве ; соболевы пространства функций с обобщенными производными порядка по переменной и по переменной соответственно, которые суммируемы со степенью подпространство пространства , всюду плотным множеством в котором является множество всех гладких функций,равных нулю вблизи границы области ;; символ  означает, что данное свойство имеет место для почти всех значений переменной величины.

         Рассмотрим  систему распределения световых пучков в неоднородной среде, состояние которой описывается  следующим уравнением квазиоптики :

                            (1)

 где мнимая единица, - оператор Лапласа, волновая функция или комплексная амплитуда электрического поля волны, распространяюшиеся вдолъ оси , заданные числа , заданная вещественнозначная измеримая ограниченная функция, удовлетворяюшая условию:

                                                                                    (2)

заданная комплекснозначная измеримая функция, удовлетворяющая  условию:                                                                                                                                                            

                                                              ;                                                              (3)

неизвестные показатели преломления и поглощения среды распространения.

          Пусть для уравнения (1) заданы следующие начальное и краевое условия:

                                                                                                   (4)

где  комплекснозначная измеримая функция, удовлетворяющая  условию:

                                                             .                                                                  (5)

         Наша целъ заключается в определении неизвестных коэффициентов  на основе получения заданного распределения  световой  волны на обьекте исследования, расположенного на расстоянии  от передающего  обьекта, то естъ на основе дополнителъной информации:

                                                                                                               (6)

где заданная комплекснозначная функция из .

         Пустъ где  Элемент  будетъ отыскан на множестве:

             ,

где заданные положителъные числа. Множество  будем называтъ множеством допустимых элементов. Определение  из множества  при условиях  (1), (4), (6) является обратной задачей или задачей идентификации по финалъному наблюдению для уравнения квазиоптики вида (1). Вариационная формулировка этой задачи заключается в минимизации функционала:

                                                                                      (7)

на множестве при условиях (1),(4),где заданное число,заданный элемент, Эту задачу в дальнейшем будем называть задачей идентификации (1), (4), (7).

        Задачу об определении функции  из условий (1),(4) при каждом  будем называтъ прямой задачей. Под решением этой задачи будем пониматъ функцию из пространства ,

удовлетворяющую уравнению (1) для любого  и почти всех , а условиям (4) для почти всех  и , соответственно.

        Прямую  задачу для многомерного нелинейного стационарного уравнения квазиоптики вида (1) можно рассмотреть как прямую задачу для многомерного нелинейного нестационарного уравнения Шредингера с комплекснозначным квантовомеханическим потенциалом. Известно, что прямая задача, то есть начально-краевая задача для многомерного нелинейного нестационарного уравенеия Шредингера с вещественнозначным квантовомеханическим потенциалом, зависящим от переменной , когда нелинейная часть уравнения содержит чисто мнимый коэффициент,подробно  изучена в работах  и др. В настоящей работе потенциал является комплекснозначным и зависит от обеих переменных  при . Поэтому результаты, полученные в работах  и др. относительно разрешимости начально-краевой задачи для многомерного нелинейного уравнения Шредингера,когда нелинейная часть уравнения содержит чисто мнимый коэффициент, не достаточны для исследования задачи идентификации  (1), (4), (7) для определения комплекснозначных потенциалов и возникает необходимость изучения разрешимости прямой задачи (1), (4) при  .  В связи с этим, используя метод Галеркина и методику доказательства работ   , доказано следующее утверждение:      

        Теорема 1.  Пусть  функции    удовлетворяют  условиям (2), (3), (5),  а граница области   достаточно гладкая. Тогда при каждом  прямая задача (1), (4) имеет единственное решение из пространства  и справедлива оценка:

                                 (8)

для , где некоторая постоянная, а  определяется формулой:

                                            .

          Из этой теоремы следует, что решение   прямой задачи (1), (4) при каждом   принадлежит пространству . Поэтому функционал (7) имеет смысл в этом классе решений прямой задачи (1), (4).

         Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и  . Тогда существует плотное подмножество  пространства такое,что для любого  и при  задача идентификации (1), (4), (7) имеет единственное решение.

         Теорема 3.  Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда задача идентификации (1), (4), (7) имеет хотя бы одно решение при и .

         Пусть  является решением следующей сопряженной задачи:

                 (9)

                                                                         (10)

где -решение прямой задачи (1), (4) при .

          Под решением сопряженной задачи понимается функция  из пространства , удовлетворяющая уравнению (9) для  и , а условиям (10) для   , , соответственно.

          Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 1 и заданная функция. Тогда сопряженная задача (9), (10) имеет единственное решение из пространства  и для этого решения справедлива оценка:

               (11)

для .

                    Для установления необходимого условия сначала получим формулу для первой вариации функционала (7).

          Теорема 5.  Пусть выпольнены условия теоремы 4. Тогда для любой функции  из  и для любого элемента  существует первая вариация функционала  и для  нее справедлива формула:

             

                 

     (12)

для , где  , - соответственно решения прямой и сопряженной задач при .

          С помощью этой теоремы можем установить необходимое условие в виде вариационного неравенства для решения задачи идентификации (1), (4), (7).

          Теорема 6.  Пусть выполнены условия теоремы 4. Пусть, кроме того,  -является множеством решений задачи идентификации (1), (4), (7). Тогда на любом элементе   необходимо выполнение неравенства:

               

                            

                   ,        (13)

где   , - соответственно решения прямой и сопряженной задач при  .

                                                        Литература.

        1. Воронцов М.А., Шмалъгаузен В.И. Принципы адаптивной оптики. М.: Наука, 1985. – 336 с.

        2. Ягубов Г.Я. Задача оптимального управления для уравнения типа Шредингера // В сб.: «Численные методы и матем. обеспечение ЭВМ».- Баку: изд-во АГУ, 1984.- с. 116-125.

        3. Шамеева Т.Ю. Об оптимизации в задаче о распространении светового пучка в неоднородной среде // Вестн.Московск. ун-та . Сер. вычисл. матем. и киберн.-1985, №1.- с. 12-19.

        4. Искендеров А.Д., Ягубов Г.Я. Вариационный метод решения обратной задачи об  определении квантовомеханического потенциала // ДАН СССР.- 1988, т.303, № 5.-с.1044-1048.

        5. Искендеров А.Д., Ягубов Г.Я  Оптимальное управление нелинейными квантовомеханическими системами // Автоматика и телемехан.- 1989, № 12.- с.27-38.

        6. Ягубов Г.Я. Оптимальное управление коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера // Докторск. дисс.- Баку, 1993.- 318 с.; Автореферат докторск. дисс.- Киев, 1994.- 29 с.

        7. Ягубов Г.Я., Мусаева М.А. О вариационном методе решения многомерной обратной задачи для нелинейного нестационарного уравнения Шредингера // Изв. АН. Азерб. ССР.- Сер. физ.- техн.- матем. наук. – 1994, т. XV, № 5-6.- с. 56-61.

        8. Ягубов Г.Я., Мусаева М.А. Об одной задаче идентификации для нелинейного уравнения Шредингера // Дифференц. уравнения.- 1997, т. 33, № 12.- с. 1691-1698.

         9. Искендеров А.Д. Определение потенциала в нестационарном уравнении Шредингера // В сб.: «Проблемы матем. моделирования и опт.управления».- Баку, 2001.- с. 6-36.

        10. Искендеров А.Д., Ягубов Г.Я. Оптималъное управление неограниченным потенциалом в многомерном нелинейном и нестационарном уравнении Шредингера

// Вестник Ленкоранского государственного университета.-Серия естественных наук. -Ленкорань, 2007.- с. 3-56.

                                                                 Ibrahimov N.S.

                                    On an identification problem for the multi-dimensional

                            nonlinear stationary equation quasi optics  with a  purely  imaginary

                                                       coefficient in the nonlinear part

          Abstract. In the paper we study  the identification problem of determining the complex value coefficient of a  multidimensional nonlinear stationary equation quasi optics  with the purely imaginary coefficient in the nonlinear part of the  equation. In thıs case we prove existence and uniqueness of solution of  the identification problem. Furthermore the necessary condition for solution of identification problem of the variational inequality type is established.

          Key words. Equation quasi optics, a complex- valued coefficient, the problem of  identification.