Сельское хозяйство/2. Механизация сельского хозяйства

К.т.н. Яхин С. М., д.т.н. Зиганшин Б. Г., к.т.н. Валиев А. Р.,

к.т.н. Сёмушкин Н. И., Гайнутдинов Р. Р.

Казанский государственный аграрный университет, Россия

Расчет ступенчатых сложнонагруженных валов сельскохозяйственных машин

 

В конструкциях современной сельскохозяйственной техники широкое распространение получили многоступенчатые валы, которые испытывают разные виды динамических нагрузок.

Рассмотрим расчет сложнонагруженных валов сельскохозяйственных машин, учитывая два силовых фактора – сжимающую силу F и скручивающий момент T (рисунок 1).

Решение этой задачи рассматривалось ранее многими исследователями [1, 2, 3, 4]. Решим задачу в несколько иной плоскости. Предлагаемое решение будет более упрощенным. Главные изгибные жесткости предполагаются равными между собой.

Рисунок 1 – Шарнирно опертый ступенчатый вал

                                                                                                                

Дифференциальные уравнения деформированной оси вала по участкам запишутся в следующем виде:

A1v1//  = – Fv1   - Tu1 /

A1u1//  =  – Fu1  + Tv1/         ,                                    (1)

 

A2v2 // =   –  Fv2   - Tu2/ 

A2 u2 //  =   –  Fu2  + Tv2/         .                                   (2)

Здесь обозначено:

u и v – перемещения точек оси бруса по направлению осей y и x на участках;

A1 = EJ1 ,      A2  =  EJ2 ,                                                           (3)

где          E – модуль упругости первого рода;

                J1, J2 – осевой момент инерции сечений вала по участкам.

Их общими интегралами будут :

v1 = C1cos 1z1 + C2sin 1z1 + C3cos 1z1 + C4sin 1z1

u1 = – C1sin 1z1 + C2cos 1z1 - C3sin 1z1 + C4cos 1z1    ,                (4)

v2 = D1cos 2z2 + D2sin 2z2 +D3cos 2z2 + D4sin 2z2

u2 = – D1sin 2z2 + D2cos 2z2 - D3 sin 2z2 + D4cos 2z2    ,              (5)

где

 ( )  = =   ,                             (6)

i = 1,2.

В классической постановке граничные условия запишутся в плоскостях в следующем виде:

                          u1 = v1  = u2  = v2 = 0            при  z1 = z2 = 0

                          u1 = u2,   v1 = v2                     при z1 = ,  z2 =                            (7)

                          u/1 = -u/2,  v/1 = -v/2                при z1 = , z2 =            .

После  подстановки  в граничные условия (7) решений уравнений (4) и (5)  придем к определителю вида

а1            в1           в2           а2

в1             а1          а2            в2

                                  =         с1             д1          д2           с2        = 0,                         (8)

д1             с1           с2           д2

где при i = 1 , 2 обозначено

аi =cos i  –  cos ,  вi = sin – sin ,                     (9)

ci  = – , дi = – .

Раскрывая определитель, получим

( )2 sin2 sin2 +( sin cos + sin cos )2=0.  (10)

Это уравнение возможно только при условии

 =  n,  =  m   (n =0,1,2 …;  m = 0,1,2 … .),

откуда с учетом  зависимости (6) получим

,    .                   (11)

Такой результат не дает правильного решения, так как системы осей х1, у1, z1 и х2, у2, z2  являются вращающимися относительно осей z1 и z2 или мгновенно изменяемыми. Представим  первые граничные условия в следующем виде:

u1 = u2 =v1 = v2 = 0,       1 = =  = 0   (12)

при z1 = z2 = 0 .

Более упрощенный вариант записи граничных условий предложен в работе  ряда авторов [5].  К равенству нулю прогибов на концах  добавятся равенство нулю углов поворота. Эти равенства выведут системы координат из вращающихся систем координат относительно осей z1 и z2 и сориентирует с углами поворота. Конечный результат останется тем же.

Граничные условия (12), как и предложенный упрощённый вариант, позволяют описать форму деформированной оси  следующим образом

 = .                            (13)

Выполним теперь граничные условия в стыке ступеней

 при z1 = , z2 =                      (14)

Эти  условия  придут к  следующей зависимости 

                                        (15)

В частном случае, т.е. при простом нагружении, переходим  к потере устойчивости при осевом сжатии или при одном кручении. При равенстве нулю длины одного из двух участков получаем известную формулу для одного участка.

 

Литература

1. Мартьянов, А.П. О формах равновесия валов (стержней) при сложных деформациях /А.П.Мартьянов, С.А.Мартьянов // Вестник Казанского ГАУ. – 2006. – №3. ­ – С. 52 – 55.

2. Геммерлинг,  А. В. Расчет стержневых систем. – М.: Стройиздат, 1974. – 208 с.

3. Ижендеев, А. В. Расчет стержневых систем, составленных из тонкостенных стержней открытого профиля / А. В. Ижендеев // Известия высших учебных заведений: Строительство. – 2006. – №7. ­ – С. 88 – 92.

4. Игнатьев В. А., Галишникова В. В. Расчет шарнирно-стержневых систем на устойчивость на основе принципа возможных перемещений / В. А. Игнатьев, В. В. Галишникова // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Технические науки. – 2006. – №6. – С. 5 – 17.

5. Мартьянов А. П., Мартьянов С. А., Яхин С. М. Теория и расчет конструкторской надежности сельскохозяйственной техники. – Казань: Казан. гос. ун-т, 2010. – 210 с.