Тищенко
Л.Н., д.т.н., профессор, чл.-кор. НААНУ
Харьковский
национальный технический университет сельского хозяйства
имени П. Василенко
Украина,
61002, Харьков, Артёма, 44
расчет движенИЯ ЗЕРНовых смесей по решетам
виброцентробежных сепараторов
The formulas for calculating of
the velocity vibroliquefaction of the layer grain mix of vertical
cylindrical sieve vibratory centrifugal separators, taking into account their vibrations
caused by axial vibration of the sieve.
Для интенсификации
процесса сепарирования серийными виброцентробежными сепараторами необходимо
знать закономерности движений по их решётам зерновых смесей. Например,
рациональная длина продолговатых отверстий, при которой минимально количество
застреваний в них зерен, зависит от средней относительной скорости движения
частиц [1]. Поэтому установление кинематических характеристик потока зерновых
смесей по поверхности решет относится к актуальным научно-прикладным задачам.
В публикациях [2,3,4], где движение
виброожиженного слоя смеси описывается уравнениями гидродинамики, определяют
усредненную скорость потока за период колебаний решета. В такой упрощенной
постановке задачи в уравнениях Навье-Стокса при решении отбрасывают инерционные
члены. Работы, в которых учитывают изменение скорости потока во времени,
немногочисленны. Из них отметим публикации [1,5,6], в которых анализируется
распространение вибрационного поля от решета по объему движущейся зерновой
смеси, с чем связаны интенсивность сегрегации зернового материала и
просеиваемость частиц. Однако наличие указанных публикаций не исключает
потребности дальнейшего анализа колебаний в движущейся зерновой массе, от
которых зависит повышение эффективности работы виброцентробежных сепараторов
ОАО “Вибросепаратор”(Украина, г. Житомир).
Целью данной работы является вывод и
апробация расчетами формул для моделирования колебаний скорости потока
виброожиженного слоя зерновой смеси при вертикальном движении его по
поверхности решета, которое подвержено осевым вертикальным вибрациям в
виброцентробежном сепараторе.
Далее сохраняем математическую
постановку краевой задачи и расчетную схему, изложенные в [1, с. 149-155].
Согласно указанной работе, вычисление вертикальной скорости установившегося
движения неоднородного по толщине слоя зерна внутри цилиндрического решета
сводится к формуле:
, (1)
в
которой 
эффективная
кинематическая вязкость зерновой смеси на свободной внутренней поверхности слоя
толщиной 
; 
эффективная
кинематическая вязкость зернового слоя у поверхности решета; 
ускорение свободного
падения; 
радиальная
координата, направленная по нормали от поверхности решета в сторону оси его
вращения, как показано на рис. 1.
а) б)
Рис. 1. Расчетная схема:
а) цилиндрическое решето с движущимся по его внутренней поверхности слоем зерново й смеси; б) продольное сечение слоя
Постоянная 
является
коэффициентом пропорциональности в линейном законе изменения вибровязкости по
толщине слоя
.
Кроме [1], аналогичный закон ранее
использовался в [7].
Второе слагаемое в (1) должно быть
решением краевой задачи для уравнения [1]:
. (2)
с граничными условиями:
, (3)
где
соответственно амплитуда и частота вертикальных вибраций решета.
Следуя [1],
решение уравнения (2) берем в виде:
, (4)
где
; 
комплексная функция
вещественного аргумента.
Согласно (2) и (3) выражение (4) будет
искомым решением краевой задачи, если:
; (5)
; 
;
; 
. (6)
Общим решением уравнения (5) является
. (7)
Здесь 
; 
соответственно функции
Бесселя и Ганкеля нулевого индекса; 
вещественные
произвольные постоянные.
Для выделения вещественной и мнимой
частей в (7) выразим цилиндрические функции комплексного аргумента через
функции Кельвина нулевого индекса [8]:
; 
.
Тогда
; (8)
.
Подставив (8) и их производные в (6),
получаем систему четырех линейных уравнений, из которой находим константы 
, 
:
;
;
; 
;
;
;
.
Здесь 
; 
; штрихом обозначены производные функций Кельвина по 
.
Учитывая найденные значения 
, 
, а также выражения (1), (4) и (8), получаем формулу скорости
потока смеси
. (9)
Входящие в построенное решение функции
Кельвина и их производные затабулированы в [8]. Однако в практике сепарирования
аргументы специальных функций имеют большие значения, которые выходят за
интервал табулирования. Поэтому при проведении расчетов целесообразно
использовать асимптотические представления:
;
;
; (10)
.
О точности асимптотических формул (10)
позволяют судить числа в таблицах 1 и 2, где указаны значения функций Кельвина
и их производных аргумента 
, заимствованные из [8] и вычисленные по формулам (10).
Таблица
1 – Значения 
, 
, 
, 
при 
|
Функции |
|
|
|
|
|
в
[8] |
138,84 |
56,37 |
51,20 |
135,31 |
|
вычисленные
по (10) |
138,81 |
56,46 |
51,44 |
135,14 |
Таблица
2 – Значения 
, 
, 
, 
при 
|
Функции |
|
|
|
|
|
в
[8] |
-0,1958 |
-0,0824 |
0,8971 |
0,2009 |
|
вычисленные
по (10) |
-0,1957 |
-0,0825 |
0,9003 |
0,2007 |
Учитывая, что в условиях сепарирования смесей
расчетные значения параметров таковы, что 
, приходим к выводу, о пригодности формул (9), (10) к
проведению теоретических расчетов. Расчеты сводятся к вычислениям значений
элементарных функций, несмотря на то, что решение краевой задачи получено в
функциях Кельвина.
Изложенная теория существенно
упрощается, если пренебречь изменением вибровязкости слоя по его толщине. Для
однородного слоя смеси, у которого 
, 
, решение краевой задачи, представленной выражениями (5) и
(6), имеет компактный вид [1]:
. (11)
Выполнив предельный переход 
в (1), после
соответствующих преобразований, с учетом (11), получаем:
, (12)
где
;
; 
.
Решение
аналогичного вида для плоского
виброрешета получено в [5] другим методом.
Из (12) следует, что наименьшее
значение амплитуда 
колебаний скорости
имеет на свободной поверхности слоя, т. е. при 
. Его легко вычислить по формуле:
.
Амплитуды колебаний скорости точек слоя
ограничены неравенствами:
.
При переходе от поверхности решета к
свободной поверхности слоя коэффициент затухания амплитуд равен:
.
В режимах работы решета, когда 
:
.
Из последнего выражения видно, что
коэффициент затухания амплитуд колебаний скорости увеличивается с увеличением 
и 
и уменьшается с
увеличением вибровязкости смеси.
Проанализируем результаты расчетов,
которые проведены при паспортных кинематических параметрах сепараторов ОАО “Вибросепаратор”
(г. Житомир) 
м; 
с-1 (рис. 2) и 
м; 
с-1
(рис. 3), а также
кг/м3; 
м; 
Па×с; 
м/с, что соответствует зерновой смеси пшеницы [7].
Результаты компьютерных расчётов
графически представлены на
рис.2-5. На рис.2-3 показано, что амплитуды колебаний скорости
существенно уменьшаются с удалением от поверхности виброрешета (увеличением 
). На свободной поверхности слоя 
они
значительно меньше, чем амплитуды колебаний скорости решета.
Рис. 2. Зависимости колебаний скорости зерновой смеси
пшеницы от времени для различных 
:1,2,3,4 - 
при 
м; 
с-1
Рис. 3. Зависимости колебаний скорости зерновой смеси
пшеницы от времени для различных 
:1,2,3,4 - 
при 
м; 
с-1
Распределение скорости по толщине движущегося слоя
меняется с течением времени согласно графикам на рис.4. Изменение профиля
скорости во времени способствует сегрегации зерновой смеси.
Рис. 4. Профили скорости потока зерновой смеси пшеницы по толщине слоя в различные моменты
времени: ── 
; ∙∙∙∙∙ 
; – – – 
при 
м; 
с-1
Сравнить профили скорости, к которым приводят точное и
приближённое решения, позволяют графики на рис. 5. Сравнение показывает, что
приближённое решение достаточно точно описывает профиль скорости в тонком слое
движущейся зерновой смеси.
Рис. 5. Профили скорости зерновой смеси, полученные при
: ── по формуле (9);
∙∙∙∙∙ по формуле (12) при 
м; 
с-1
Таким образом, изложенная
математическая модель обобщает известные теории. Она позволяет рассчитывать
распределение вибраций по толщине движущегося слоя зерновой смеси, а также
изменения профиля скорости потока смеси во времени. Определение указанных
характеристик сводится к простым вычислениям, особенно при высокочастотном
режиме вибраций решет.
Литература
1.
Тищенко Л.Н. и др. Моделирование
процессов зерновых сепараторов. – Харків: Міськдрук, 2010. – 360с.
2.
Тищенко Л.Н.
Интенсификация сепарирования зерна. – Харьков: Основа, 2004. – 224 с.
3.
Тищенко Л.Н., Ольшанский
В.П., Ольшанский С.В. Гидродинамика сепарирования зерна. – Харків: Міськдрук, 2010. – 174с.
4.
Тищенко Л.Н., Ольшанский
В.П., Ольшанский С.В. Расчет профиля и максимума скорости слоя зерна на плоском
виброрешете // Тракторы и сельхозмашины. – 2010. – № 10. – С. 48-51.
5.
Тищенко Л.Н., Ольшанский
В.П., Ольшанский С.В. Расчет движения зерновой смеси на вибрирующем плоском
наклонном решете // Вібрації в техніці та технологіях. – 2009. – № 1 (53). – С.
109-113.
6.
Тищенко Л.Н., Ольшанский
В.П., Ольшанский С.В. О колебаниях скорости зерновой смеси на виброрешете //
Вібрації в техніці та технологіях. – 2010. – № 1 (57). – С. 18-124.
7.
Гортинский В.В., Демский
А.Б., Борискин М.А. Процессы сепарирования на зерноперерабатывающих
предприятиях. Изд. 2-е. – М.: Колос, 1980. – 304 с.
8.
Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф.
Специальные функции. – М.: Наука, 1977. –
344 с.