Некоторые теоремы вложения в пространствах lp и бесселевых потенциалов

Математика / 4. Прикладная математика

Таджигитов А.А., Дуткин М.А., Климов Е.В.

Северо-Казахстанский государственный университет им. М.Козыбаева,

Республика Казахстан, г.Петропавловск

Некоторые теоремы вложения в пространствах

последовательностей l_p и бесселевых потенциалов

Приведем определения пространств и .

Определение 1. Пусть , – измеримое множество в , . Говорят, что функция , если измерима на и .

Определение 2. Пусть , , тогда (инфимум берется по всем множествам меры нуль). Аналогично определяется истинный инфимум: .

Определение 3. Пусть – измеримое множество в _,. Если , то говорят, что функция , если измерима на и .

Если , то считают, что любая функция , заданная на , принадлежит и полагают (для этого случая ).

Определение 4. Говорят, что при , если , и что , если (т.е. если – ограниченная последовательность).

Неравенство Гельдера является основным неравенством в теории пространств .

Неравенство Гельдера. Пусть – измеримое множество, , и . Тогда

1. при : ;

2. при и дополнительных предложениях о том, что и : .

Следствие 1. Пусть , , и (считаем, что ). Тогда при : ;а при и дополнительных предположениях о том, что : .

Следствие 2. Если и , то и .

Неравенство Иенсена. Пусть , тогда , и .

Приведем утверждение о принадлежности функции к пространствам последовательностей и простейшую теорему вложения для пространств . Для исследования сходимости и расходимости ряда используется интегральный признак Коши.

Теорема 1. Пусть , , . Если , то .

Следствие. Пусть , , тогда .

Пусть – вещественное -мерное евклидово пространство. Точка в обозначается через . – пространство Шварца комплекснозначных быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на . Топология в полном локально-выпуклом пространстве порождается нормами: , , где Далее, имеет обычный смысл; – мультииндекс, – целые и , – множество всех обобщенных функций медленного роста на , т.е. сопряженное к пространство, снабженное сильной топологией.

Для дальнейших исследований нам необходимо вспомнить определение преобразования Фурье.

Определение 5. Если то , обозначает преобразование Фурье от

Здесь – скалярное произведение в векторов , .

Обратное преобразование Фурье задается формулой , .

Преобразования и обычным образом распределяются с на . представляет собой изоморфное отображение на себя и , аналогично и .

Рассмотрим – пространства бесселевых потенциалов. Пространства определяются не с помощью производных и разностей (первой или более порядков), а с помощью преобразования Фурье.

Определение 6. Если – вещественное число, , то .

Следующая теорема показывает, что эти пространства представляют собой особый интерес.

Теорема 2. Пусть – компактное подмножество в и . Для всякого мультииндекса существует положительная постоянная, такая, что при всех справедливо неравенство (1).