Математика / 4. Прикладная
математика
Таджигитов А.А., Дуткин М.А., Климов Е.В.
Северо-Казахстанский государственный
университет им. М.Козыбаева,
Республика Казахстан, г.Петропавловск
Некоторые теоремы вложения в
пространствах
последовательностей lp
и бесселевых потенциалов
Определение 1. Пусть ,
– измеримое множество
в
,
. Говорят, что функция
, если
измерима на
и
.
Определение 2. Пусть ,
, тогда
(инфимум берется по
всем множествам
меры нуль).
Аналогично определяется истинный инфимум:
.
Определение 3. Пусть – измеримое множество
в
,
. Если
, то говорят, что
функция
, если
измерима на
и
.
Если , то считают, что любая функция
, заданная на
, принадлежит
и полагают
(для этого случая
).
Определение 4. Говорят, что при
, если
, и что
, если
(т.е. если
– ограниченная
последовательность).
Неравенство
Гельдера является основным неравенством в теории пространств .
Неравенство Гельдера. Пусть – измеримое
множество,
,
и
. Тогда
1. при :
;
2. при и дополнительных
предложениях о том, что
и
:
.
Следствие 1.
Пусть ,
,
и
(считаем, что
). Тогда при
:
; а при
и дополнительных
предположениях о том, что
:
.
Следствие 2. Если и
, то
и
.
Неравенство Иенсена. Пусть , тогда
, и
.
Приведем утверждение о
принадлежности функции к пространствам последовательностей и простейшую теорему
вложения для пространств
. Для исследования сходимости и расходимости ряда
используется интегральный признак Коши.
Теорема 1. Пусть ,
,
. Если
, то
.
Следствие. Пусть ,
, тогда
.
Пусть – вещественное
-мерное евклидово пространство. Точка в
обозначается через
.
– пространство
Шварца комплекснозначных быстро
убывающих бесконечно дифференцируемых функций на
. Топология в полном локально-выпуклом пространстве
порождается нормами:
,
, где
Далее,
имеет обычный смысл;
– мультииндекс,
– целые и
,
– множество всех
обобщенных функций медленного роста на
, т.е. сопряженное к
пространство,
снабженное сильной топологией.
Для дальнейших исследований нам необходимо
вспомнить определение преобразования Фурье.
Определение
5. Если то
,
обозначает
преобразование Фурье
от
Здесь – скалярное
произведение в
векторов
,
.
Обратное преобразование Фурье задается
формулой ,
.
Преобразования и
обычным образом
распределяются с
на
.
представляет собой
изоморфное отображение
на себя и
, аналогично и
.
Рассмотрим – пространства
бесселевых потенциалов. Пространства
определяются не с
помощью производных и разностей (первой или более порядков), а с помощью
преобразования Фурье.
Определение
6. Если – вещественное число,
, то
.
Следующая теорема показывает, что эти
пространства представляют собой особый интерес.
Теорема
2. Пусть – компактное
подмножество в
и
. Для всякого мультииндекса
существует
положительная постоянная, такая, что при всех
справедливо неравенство
(1).
Постоянная в (1) зависит от и от размерности
.
Пусть ,
– мультииндекс.
Существует постоянная
, такая, что неравенство
(2) выполняется при
всех
, где
,
.
При соотношение (2)
представляет собой знаменитое неравенство Никольского, которое широко
используется в теории функциональных пространств.
Замечание
1. В силу приведенных
рассуждений неравенство (2) выполняется для всех .
Теорема
3. Пусть ,
и
. Пусть
. Тогда
, и
.
Более подробную информацию по теории
обобщенных функций в различных функциональных пространствах можно получить в монографии
[2].
1. Буренков В.И.
Функциональные пространства. – М.: РУДН, 1987.
2. Трибель Х. Теория функциональных
пространств. – М.: Мир, 1986.
3. Натансон И.П. Теория функции
вещественной переменной. – М.: Наука, 1974.