к.ф.-м.н. А.И. Долгарев
Структура галилеева пространства-времени
Структура пространства-времени общей теории относительности существенно отличатся от структуры пространства-времени специальной теории относительности. Указанным пространствам соответствуют некоммутативное галилеево пространство и классическое пространство-время Галилея. Ниже рассматриваются основные понятия галилеевых пространств и проводится аналогия с пространствами из теории А. Эйнштейна.
Существует аналогия между структурами пространства-времени
в теории относительности А.Эйнштейна и пространства-времени Г. Галилея. Это
закономерно, так как пространство-время Галилея является предельным случаем
пространства-времени в теории Эйнштейна. Переход от системы отсчета, в которой
событие имеет координаты к системе отсчета,
где то же событие имеет координаты
в теории Эйнштейна
осуществляется в результате преобразований Лоренца
,
,
,
;
а
в пространстве-времени Галилея в результате преобразований Галилея:
,
,
,
.
Если
скорость события мала по
сравнению со скоростью света
, т.е.
стремится к нулю, то
формулы Лоренца превращаются в формулы Галилея.
1. О структуре
пространства-времени в теории относительности.
Структура
пространства-времени специальной теории относительности (СТО) принципиально
отличается от структуры пространства-времени в общей теории относительности
(ОТО), см., например, [1, с. 615 – 639], в популярном изложении: [1, с. 37 –
38]. В указанных книгах вопрос о пространстве-времени Галилея не обсуждается.
Временные (времени-подобные) мировые
линии наблюдателей в пространстве-времени в СТО являются прямыми линиями. К ним
перпендикулярна 3-мерная пространственная (пространственно-подобная)
составляющая пространства-времени. Здесь может идти речь о слоении
пространства-времени в СТО.
В случае ОТО конгруэнции мировых линий
наблюдателей искривлены. Направление движения наблюдателя задано касательной к
мировой линии наблюдателя. В ОТО каждый наблюдатель в каждый момент времени определяет
3-мерное пространственное направление ортогонально касательной к мировой линии
наблюдателя. Указанные пространственные направления возможно не сшиваются в
гладкое пространство. О слоении говорить не проходится.
В пространстве-времени в СТО можно
ввести глобальную систему отсчета, в пространстве ОТО – только локальную.
Пространство-время в ОТО настолько искривлено, что множество одновременных
событий не составляет евклидовой гиперплоскости. Однако, некоторую аналогию с
галилеевыми некоммутативными пространствами можно усмотреть.
2. Пространство-время Галилея и его
евклидовы гиперплоскости.
Имеется линейное и коммутативное
классическое пространство-время Галилея и некоммутативные галилеевы
пространства.
Пусть есть линейное
пространство действительного аффинного пространства
,
и
,
, векторы из
. Операции над векторами:
,
,
,
поле действительных
чисел. В
вводится галилеево
скалярное произведение векторов
(1)
Линейное
пространство с галилеевым скалярным произведением векторов называется галилеевым
векторным пространством и обозначается .
Для
вектора определяется галилеева норма равенством
, (2)
в
координатах имеется:
(3)
Галилеева
норма векторов относится к квазинормам в виду того, что галилеево скалярное произведение
векторов определяется двумя равенствами.
Первая компонента вектора
называется временной,
остальные компоненты вектора
называются
пространственными. В связи с этим изменяются обозначения компонент векторов:
.
Векторы
, согласно определению (3) галилеевой нормы, являются евклидовыми;
векторы
,
, называются галилеевыми векторами. Евклидовы векторы составляют
в
3-мерное евклидово
подпространство, это евклидово подпространство
наибольшей размерности в пространстве
. Векторы
и
называются
перпендикулярными, если
. Выполняется:
Лемма.
Всякий галилеев вектор перпендикулярен
всякому евклидову вектору. #
В результате введения галилеева
скалярного произведения векторов в
линейное пространство аффинного
пространства
, аффинное пространство становится пространством-временем
Галилея и обозначается
. Точка аффинного пространства называется еще событием пространства
. Событие
происходит в момент
времени
и имеет пространственные
координаты
. Множество всех событий есть мир
. Траектория движения события
называется мировой
линией события
. Прямые линии аффинного пространства
являются прямыми
линиями пространства-времени
. Всякая прямая
однозначно
определяется точкой
, через которую она проходит, и вектором
, в направлении которого она проходит:
;
она
является мировой линией события . Прямая
есть множество точек:
. (4)
Зафиксируем момент времени . Множество
событий
есть множество
одновременных между собой событий.
Утверждение
1. Множество событий , одновременных с
событием
, является евклидовой
гиперплоскостью
в пространстве-времени Галилея
, ее векторное
пространство есть
– 3-мерное евклидово подпространство галилеева
пространства
.
# Пусть и
два события из
. Парам событий
соответствуют векторы
в , векторы евклидовы, и все эти векторы составляют евклидово
векторное подпространство
пространства
. Следовательно, множество событий
является в
евклидовой
гиперплоскостью
с векторным пространством
. #
Утверждение
2. Пусть лежит в евклидовой гиперплоскости
,
,
, – галилеевы векторы.
Тогда галилеевы прямые
перпендикулярны гиперплоскости
и параллельны между собою.
# Векторы и
перпендикулярны, так
как по (1), скалярное произведение
, см. лемму. Все векторы
параллельны временной
оси
,
начало отсчета,
. В коммутативном пространстве имеется один вид параллельных
прямых. #
3. Некоммутативное галилеево
пространство-время с растраном.
Линейное пространство над
является
коммутативным одулем Ли. К некоммутативным одулям Ли относится растран
, заданный на многообразии
следующими операциями:
,
; (5)
,
. (6)
Элементы
растрана называются растами и обозначаются малыми греческими буквами. Нулевой раст
есть ; раст, противоположный расту
, равен
=
=
; см. [3, с. 107]. Растран
некоммутативная
алгебраическая структура с внешней операцией, обобщает линейное пространство и
относится к одулям Ли, [3, с. 102 – 115]. Одули и одулярные пространства
определены в [4].
Галилеево скалярное произведение растов
определяется также, как галилеево скалярное произведение векторов (1). Пусть . Имеем:
(7)
Формально
определения (1) и (7) совпадают. Галилеева норма раста определяется равенством:
,
ср.
с (2), и вычисляется следующим образом:
(8)
Определение
квазинормы растов выглядит также, как определение квазинормы векторов (3). Компонента
раста
называется временной,
остальные компоненты
называются
пространственными. Раст
=
является вектором,
все расты
составляют 3-мерное
евклидово векторное пространство
– евклидов подрастран
растрана
; операции (5), (6)
при
превращаются в
операции над векторами. Расты
,
, называются галилеевыми. Всякий галилеев раст перпендикулярен всякому евклидову расту, так
как
(скалярное
произведение этих растов равно нулю).
Рассматривается многообразие и отображение
,
в
котором паре кортежей и
ставится в
соответствие раст
. (9)
Для
отображения выполняются аксиомы
Г.Вейля аффинного пространства, в которых линейное пространство заменено
растраном, [3, с. 128]. Тем самым, на многообразии
определено галилеево
пространство время с растраном, обозначаемое
. Геометрия галилеева пространства с растраном
некоммутативна.
Элементы пространства называются и точками
и событиями,
есть некоммутативный
мир. Всякое событие
имеет временную
компоненту
и пространственные
компоненты
. Зафиксировав момент времени
, имеем в
множество событий
, одновременных с событием
.
Утверждение
3. Множество одновременных событий из
является евклидовой гиперплоскостью
галилеева пространства-времени
с растраном
, векторное
пространство гиперплоскости
есть
– евклидов подрастран растрана
.
# Паре событий и
из
соответствует раст, согласно
(9),
.
Эти
расты являются векторами, как уже отмечалось, см. (8), и составляют 3-мерное
евклидово векторное пространство . #
Прямую галилеева пространства
определим по аналогии
с прямой аффинного пространства (4):
=
.
При
использовании операций над растами (5), (6), в [2, с. 136] получены параметрические
уравнения прямой:
,
. (10)
В
случае галилеева раста прямая описывается
нелинейными (экспоненциальными) уравнениями, другими словами, прямые
некоммутативного галилеева пространства
, не лежащие в евклидовой гиперплоскости
, искривлены.
Утверждение
4. Прямые , проходящие через точки
евклидовой гиперплоскости
в направлении галилеева раста
, перпендикулярны
евклидовой гиперплоскости
и параллельны между собой.
# Так как евклидов раст, см.
утверждение 3, и
галилеев раст, то
. Прямые, имеющие один и тот раст, параллельны. #
В пространстве-времени имеется два вида
параллельных прямых. Во-первых, это прямые с общим растом. Во-вторых, расты
и
неперестановочны,
поэтому раст
отличен от раста
и прямые не имеют
общих точек, [3, с. 136]. Однако, достаточно рассматривать прямые
, параллельные в одном
смысле.
4. Движение во времени наблюдателей в
галилеевых пространствах.
Пусть в момент времени во всех точках
пространства-времени Галилея
и в некоммутативном
пространстве-времени
с растраном находятся
наблюдатели. С изменением времени наблюдатели движутся по временным мировым
линиям. Система отсчета каждого наблюдателя имеет своим началом событие
. Мировые линии наблюдателей являются прямыми линиями в
каждом из пространств
и
. Структура каждого из этих пространств описывается на основании
разделов 2 и 3.
Теорема
1. Мировые линии наблюдателей в
пространстве параллельны; события,
соответствующие положению наблюдателей в любой фиксированный момент времени,
составляют 3-мерную евклидову гиперплоскость, перпендикулярную прямолинейным
мировым линиям. Пространство-время
плоское.
# По утверждению 1, множества событий,
одновременных между собой, составляют 3-мерную евклидову гиперплоскость . Временные мировые линии, т.е. прямые, проходящие в
направлении галилеевых векторов, перпендикулярны гиперплоскости
в любой момент
времени
, утверждение 2. Как прямые линии аффинного пространства, прямые
пространства-времени
не искривлены,
пространство
плоское. #
Теорема
2. Мировые линии наблюдателей в
некоммутативном галилеевом пространстве-времени , являясь прямыми в
, описываются
нелинейными уравнениями (10), и пэтому искривлены. В любой момент времени
положения наблюдателей
составляют 3-мерную евклидову гиперплоскость некоммутативного галилеева
пространства-времени
. Мировые линии
наблюдателей перпендикулярны всякой 3-мерной евклидовой гиперплоскости
галилеева пространства-времени
.
# По утверждению 3, положения
наблюдателей в галилеевом пространстве-времени составляют 3-мерную
евклидову гиперплоскость
в
. Временные мировые линии, определенные галилеевыми растами,
перпендикулярны всем евклидовым растам плоскости
, утверждение 4, а поэтому и перпендикулярны гиперплоскости
. Мировые линии (10) наблюдателей искривлены и параллельны
между собою. #
Таким образом, как в
пространстве-времени Эйнштейна, коммутативное и линейное 4-мерное
пространство-время Галилея обладает прямолинейными мировыми линиями наблюдателей,
эти прямые параллельны между собою, время наблюдателей согласовано. 3-мерные
пространственные направления пространства Галилея перпендикулярны временным
направлениям и составляют в каждый момент времени гладкое евклидово пространство.
В этом случае пространство плоское.
В каждом некоммутативном галилеевом
пространстве-времени временные мировые линии наблюдателей описываются
нелинейными уравнениями. В галилеевом пространстве-времени они играют роль
прямых и их галилеевы кривизны равны нулю. Но по своей сути эти мировые линии искривлены
(по сравнению с коммутативным пространством). В фиксированный момент времени
3-мерные пространственные составляющие галилеева пространства-времени
представляют собой 3-мерное евклидово пространство. Некоммутативное галилеево
пространство-время не плоское, оно искривлено, [5].
Имеется некая аналогия коммутативного
пространства-времени Галилея и пространства СТО; а также аналогия
некоммутативного галилеева пространства-времени и пространства ОТО.
Структура пространства-времени в ОТО
описывается локально, а структура галилеева пространства-времени описыватся
глобально. Искривление некоммутативного пространства-времени обеспечивается его
некоммутативностью.
В других 4-мерных некоммутативных
галилеевых пространствах множества одновременных событий составляют 3-мерные
евклидовы подпространства , см. [3]. Временные мировые линии событий являются прямыми,
описываются нелинейными уравнениями. В пространстве с сибсоном:
,
,
,
;
в
пространстве с диссоном:
,
,
,
.
Каждое из некоммутативных галилеевых пространств, изучаемых
в [3], искривлено [5]. В пространствах с растраном и диссоном мировые линии наблюдателей
экспоненциальны; в пространстве с сибсоном – параболы второго порядка. Римановы
и псевдоримановы пространства некоммутативны. Это следует из того, что при параллельном
перенесении вектора вдоль некоторого
замкнутого пути , в результате получается вектор
, отличный от вектора
, [1, с. 411 – 515].
Псевдоевклидову пространству
соответствует коммутативное пространство-время Галилея, а псевдориманову
пространству соответствует некоммутативное одулярное галилеево
пространство-время.
Литература
1.
Рашевский П.К. Риманова
геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. – 664 с.
2. Владимиров Ю.С.
Пространство-время: явные и скрытые размерности. Изд.2 – М.: Книжный дом
«ЛИБРОКОМ», 2010. – 208с.
3.
Долгарев А.И.
Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. Монография.
– Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005. – 306с.
4.
Сабинин Л.В. Одули как
новый подход к геометрии со связностью //ДАН СССР. 1977. N5. C. 800 – 803.
5.
Долгарев А.И.
2-параметрические кривизна и кручение 3-мерных галилеевых одулярных разрешимых
пространств. – Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математически науки, Пенза, 2007, № 4, С. 3 – 17.