к.ф.-м.н. И.А. Долгарев

ПЛОСКОСТИ, СОДЕРЖАЩИЕ ШЕСТЬ ТОЧЕК

Известно,что не существует аффинной плоскости, состоящей из 6 точек. Однако, на основе одулей шестого порядка ниже рассматриваются плоскости, содержащие только 6 точек, плоскость с некоммутативным одулем близка к аффинной плоскости.

Плоскости с растраном наименьшего порядка содержат 6 точек, их прямые состоят или из двух точек, или из трех точек, то есть плоскости не регулярны. В этом существенное отличие от аффинной конечной плоскости. Растран определен на некоммутативной группе шестого порядка. Имеется еще абелева группа шестого порядка. Ниже на ней определен модуль над кольцом и построены плоскости в дополнение к плоскостям с растраном. Плоскости с указанным модулем еще менее напоминают аффинные плоскости.

1. Модуль шестого порядка

Существует циклическая группа шестого порядка , – нейтральный элемент группы. Группу можно задать циклом, перемещающим 6 символов:

.

Числа от 1 до 6 из кольца целых чисел содержат делители 2 и 3 числа 6 и чисел, меньших 6 и взаимно простых с 6 (здесь функция Эйлера). Кратные , подстановки таковы:

= ,

= ,

= ,

= ,

= .

Подстановка порождает подгруппу второго порядка и состоит из подстановок : ; подстановка порождает подгруппу = третьего порядка, = .

1. Лемма. Существует единственный модуль порядка 6 над кольцом , являющийся циклическим и вместе с тем являющийся прямой суммой модулей и – подмодулей модуля .

# Пересечение содержит только нейтральный элемент. Суммы

элементов из и исчерпывают группу . Следовательно,

=

есть прямая сумма подгрупп и . Кратные исчерпывают группу , поэтому рассматриваемая группа является модулем над кольцом (все аксиомы модуля над кольцом при этом выполняются). Подмодуль вместе с тем является линейным пространством над полем Галуа, состоящем из двух элементов; а подмодуль является линейным пространством над полем Галуа, состоящем из трех элементов. Таким образом, модуль над есть прямая сумма своих подмодулей и прямая сумма линейных пространств над полями Галуа.

На множестве пар , , , групповая операция записывается в виде таблицы

Здесь , , и т.д.

Можно подумать, что существует два модуля над , содержащих по 6 элементов – один циклический, а другой, являющийся прямой суммой модулей второго и третьего порядков. Приведенные выше рассмотрения указывают на то, что это один и тот же модуль. #

2. Одули шестого порядка над кольцом

Согласно [1, c.43], существует две группы шестого порядка: одна из них абелева и циклическая:

, ,

другая неабелева с двумя порождающими элементами и генетическим кодом ():

, , .

Л.В. Сабинин определил обобщение модулей над кольцом, рассмотрев вместо абелевой группы произвольную алгебраическую структуру с одной внутренней операцией, [2]. Элементы структуры умножаются на скаляры из кольца , это внешняя операция на структуре . Полученная структура называется одулем над кольцом. В случае, если группа (не обязательно абелева), то называется еще группой над кольцом, [3, c. 104 – 105], требуется выполнение следующих условий (, 0 и 1 нуль и единица кольца, ):

;

; ;

.

В [4] на неабелевой группе шестого порядка рассмотрен одуль над кольцом , называемый растраном. Элементы подгруппы = есть ; элементы подгруппы = обозначены . Группа является разрешимой ступени 2 и полупрямой суммой

= ┤

с нормальным делителем . Элементы группы записаны в виде пар , , . Таблица сложения пар, содержащаяся в [4], такова

здесь . Произведения растов (элементов растрана) на скаляры из есть:

.

Для растов второго порядка имеются такие же кратные, как для .

.

Порядки ненулевых растов равны либо 2, либо 3. Подрастран второго порядка является линейным пространством над полем Галуа, состоящем нам из двух элементов, подрастран является линейным пространством над полем Галуа, состоящем из трех элементов. Выполняются соотношения:

= ┤ = ┤ = ┤, =, =, =;

= = .

Модуль представлен выше подстановками. Вместе с тем и растран представляется подстановками 6 символов:

= , = ,

= , = .

= ,

В [4] это представление не указано. Циклы всех ненулевых подстановок представления имеют длину 2 или 3.

На основании выше изложенного, выполняется следующая

2. ТЕОРЕМА. Существует два одуля шестого порядка над кольцом , один из них абелев и является модулем, другой неабелев, это растран.#

3. Одулярные плоскости, состоящие из шести точек

В [4] рассмотрены плоскости с растраном порядка 6. Расты из считаются точками, при этом точки обозначены для удобства еще и другими символами:

.

Имеются две 3-точечны прямые

, ,

они параллельны, имеют одно и то же линейное пространство =. Существуют три пучка параллельных прямых:

с линейным пространством : , , ;

с линейным пространством : , , ,

с линейным пространством : , , .

Так как растран некоммутативная структура, то для прямых плоскости с растраном существует два вида параллельности. О двух видах параллельности прямых в геометрри групп Ли см. [5, 6]. Такое же расположение прямых и в дискретных (конечных) некоммутативных плоскостях.

Через всякие две точки плоскости проходит единственная прямая (4, свойство 11), через всякую точку плоскости проходит четыре различные прямые. Например, через точку , не лежащую на прямой , проходит прямая , параллельная прямой в одном смысле и прямая , параллельная прямой в другом смысле; и де прямые , , пересекающие .

В [4] изучается два вида дискретных плоскостей с растраном – аналог аффинной плоскости и ЕМ-плоскость – метрическая плоскость. Расстояние между совпадающими точками ЕМ-плоскости считается нулевым, расстояние между различными точками считается равным 1. считается, что при сложении ненулевых расстояний результат равен 1.

Определим плоскость с модулем . Обозначим плоскость . Точками плоскости считаем символы 1, 2, 3, 4, 5, 6, перемещаемые подстановками , . Прямыми плоскости считаем множества точек, принадлежащие одному из неединичных циклов подстановок ; при этом неважен порядок следования символов в цикле. Имеется три 2-точечные прямые

,

эти прямые параллельны между собою; имеется две 3-точечные прямые

и эти прямые параллельны между собою; т.е. параллельны прямые, составляющие циклы одной и той же подстановки; имеется одна 6-точечная прямая

,

считаем эту прямую универсальной, она параллельна сама себе и параллельна каждой из остальных прямых. Каждая из 2-точечных и 3-точечных прямых является подмножеством точек универсальной прямой. Однако, универсальная прямая не отображает ни один символ неуниверсальной прямой на другой символ этой же неуниверсальной прямой.

Через всякие две точки плоскости проходит универсальная прямая и через некоторые еще неуниверсальная прямая. Через каждую точку проходит три прямые – универсальная и две неуниверсальных. В плоскости точки неуниверсальных прямых являются подмножествами точек униврсальной прямой. Обычно в конечных плоскостях ни одна прямая не является подмножеством точек другой прямой. Точки универсвльной прямой разбиваются на равномощные подмножества точек параллельных между собою неуниверсальных прямых. Одуль плоскости коммутативен, поэтому имеется только один вид параллельности ее прямых.

Метризовать плоскость с модулем можно также, как и плоскость с растраном, считая расстояния между различными точками равными 1.

Прямые плоскостей с растраном можно определить используя циклы подстановок, представляющих расты, см. п. 2. Считаем, что символы, составляющие транспозиции подстановок , являются точками 2-точечных прямых плоскости с растраном. Символы циклов подстановок считаем множествами точек 3-точечных прямых.

Итогом проведенных исследований является

3. ТЕОРЕМА. Существует два вида дискретных плоскостей, состоящих из шести точек. Одна из них, с модулем , имеет коммутативную геометрию, другая, с растраном , имеет некоммутативную геометрию. На этих плоскостях введено расстояние между точками. #

Некоммутативные плоскости с растраном выглядят более привычно, они ближе к аффинной плоскости, хотя и не являются регулярными. Плоскость с модулем получена с использованием некоторых условностей и более далека от аффинной.

Литература

1. Холл М. Теория групп. - М.: ИЛ, 1962.- 468 с.

2. Сабинин Л.В. Одули как новый подход к геометрии со связностью //ДАН СССР. 1977. N5. C.800-803.

3. Мельников А.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А., Скорняков Л.А.,

Шестаков И.П. Общая алгебра. Т.1. - М.: Наука, 1990.- 592 с. -(справ.

мат. библ.)

4. Долгарев А.И. Плоскости с растраном наименьшего порядка. – Materiali VIII Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferenceji “Naukowa mysl informacyjnej powieki – 2012.” Volume 28. Przemysl. 2012, p. 3 – 13.

5. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. – М.: ИЛ 1949. – 384с.

6. Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. Монография. – Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005.– 306 с.