Физика/ 1. Теоретическая физика./ Теоретическая механика.

К. физ.-мат. наук Севрюков П.Ф.

Ставропольский государственный педагогический институт, Россия.

Введение канонических переменных «действие-угол» в возмущённой задаче Баррара.

 

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль ось динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид

,                                           (1)

где f – гравитационная постоянная, т – масса планеты, r – модуль радиус-вектора, In – постоянный параметр, Рn – полином Лежандра n – го порядка.

Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 2]. При этом начало координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда I1=с. Это значение составляет аппликату центра масс планеты, I2=0, а потенциал Баррара запишется следующим образом:

,                                        (2)

где sinφ=. Оставшиеся члены гравитационного потенциала составят пертурбационную функцию

,                                               (3)

U=W+R.                                                   (4)

Задача Баррара полностью учитывает возмущающий эффект второй зональной гармоники гравитационного потенциала планеты. Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. [2]

В сферических координатах r, φ, λ решение невозмущённой задачи Баррара имеет вид

                                                      (5)

                                                   (6)

                      (7)

где

,                                                (8)

,                                                  (9)

,                                                               (10)

,           (11)

,                                                                  (12)

.                                               (13)

 - неполные эллиптические интегралы III рода, модуль и параметры которых равны

, ,   .

В формулах (5)-(13) а, e, i, Ω, v, ω являются аналогами большой полуоси, эксцентриситете, наклона орбиты, долготы восходящего узла, истинной аномалии и аргумента перицентра кеплеровской орбиты для задачи Баррара и переходят в кеплеровские элементы про с=0.

Канонические переменные «действие-угол» введены в работах [2, 3] и выражены через эллиптические квадратуры.

В соответствии с ранее принятыми обозначениями в сферических координатах r, φ, λ функция Гамильтона невозмущённой задачи Баррара может быть записана в виде

.                                 (14)

Здесь канонические импульсы определены стандартным образом, а потенциал W определяется формулой (2).

Уравнение Гамильтона-Якоби

                 (15)

даёт полный интеграл, который легко находится разделением переменных:

       (16)

В формуле (16) канонические постоянные α1, α2, α3 выбраны следующим образом:

, , .                          (17)

Зная полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, определим для данной задачи канонические переменные «действие» по формулам

,

,                         (18)

.

В результате интегрирования получим

,

,

,                                                   (19)

где K(k), E(k), (n,k) – полные эллиптические интегралы I, II, III рода соответственно, а их параметры и модуль соответственно равны

,            ,   ,

причём s1, s2, s3 являются корнями уравнения

2cs3+ps2-2cs+(2ccos2i-psini)sini=0

и выражаются формулами (10) и (11).

Опуская выкладки, отметим, что переменные «угол», соответствующие соответствующим переменным типа «действие», выразятся следующими формулами:

,

,                                   (20)

,

где Т – момент прохождения спутником перицентра, М – средняя аномалия спутника, n – среднее движение:

.

Дифференциальные уравнения, описывающие возмущённое движение спутника во введённых выше канонических переменных «действие-угол», будут иметь вид:

;    ;  (i=1,2,3)                                  (21)

где

Н=Н0+R.                                                  (22)

Невозмущённый гамильтониан , а пертурбационная функция R задаётся формулой (3), при этом предполагается, что R есть функция переменных  (i=1,2,3).

Дифференциальные уравнения возмущённой задачи Баррара принимают наиболее простую форму, если вместо переменных  ввести канонические переменные L, G, H, l, g, h, подобные элементам Делоне кеплеровского движения и обращаются в соответствующие элементы при с=0. Попытка ввести такие переменные была предпринята в [4], однако при введении переменных была сделана ошибка: вверённые переменные не удовлетворяют условию каноничности! Введём переменные с помощью равенств

L=ξ1+ξ2+ξ3,          l=η1,

G=ξ2+ξ3,                       g=-η1+η2,                                (23)

H=ξ3,          h=η2+η3,

Поскольку, как легко проверить,

,                                         (24)

элементы L, G, H, l, g, h являются каноническими и при с=0 обращаются в соответствующие элементы Делоне кеплеровского движения.

Уравнения возмущённого движения в канонических оскулирующих переменных L, G, H, l, g, h будут иметь вид

                                  (25)

причём

.                            (26)

Ясно, что в формуле (26)  - невозмущённый гамильтониан задачи Баррара, R – пертурбационная функция(3).

Введение предложенных автором переменных существенно упрощает решение задачи интегрируемости возмущённой задачи Баррара.

 

 

Библиографический список.

1.                 Barrar R.B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate planet.// Astron. Journ. 1961. V. 66, №1.

2.                 Дёмин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения./ М.: Наука, 1968. стр. 122-130.

3.                 Конкс В.Я. Канонические переменные «действие-угол» в задаче Баррара. //Космические исследования, 1985, т. 23, вып. 3, стр.477-479.

4.                 Искакова А.М. Переменные «действие-угол» в задаче Баррара.// Аналитическая механика тел переменной массы. Алма-Ата, 1982. стр. 30-36.

5.                 Севрюков П.Ф. О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара.// Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. научн. трудов/ Пермь: – Перм. ун-т, 1989. стр. 142-145.

6.                 Пуанкаре А. Новые методы небесной механики// Пуанкаре А. Избранные труды/ М.: Наука, 1971. т. 1, стр. 8-326.