Ленюк М.П.
Обчислення невласних
інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур’є – Ейлера – Бесселя на полярній осі
I = {r: r Î (R0, R1) (R1, R2) (R2, ¥); R0 ≥ 0}
розв’язок сепаратної системи
звичайних диференціальних рівнянь Фур’є, Ейлера та Бесселя для модифікованих
функцій
, r Î (R0, R1),
, r Î (R1, R2) (1)
, r Î (R2, ¥),
за крайовими умовами
, (2)
та умовами спряження
; j, k = 1, 2. (3)
У рівностях (1) беруть участь диференціальні оператори Фур’є [1] L1=d2/dr2, Ейлера [1] та Бесселя [2] = d2/dr2 +
Будемо припускати, що виконані умови на коефіцієнти:
qj>0, , , , , j,k=1,2.
Фундаментальну систему розв’язків для диференціального
оператора Фур’є утворюють функції та [1]; фундаментальну
систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції та [1]; фундаментальну
систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя утворюють функції
Бесселя першого роду та другого роду [2].
Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє
побудувати розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом функцій Коші [1,3]:
(4)
Тут - функції Коші [1,3]:
(5)
Припустимо, що функція
Коші
Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему:
Звідси знаходимо
співвідношення:
(6)
Доповнимо рівності (6)
алгебраїчними рівняннями:
(7)
Із алгебраїчної системи (6),(7) знаходимо, що
,
Цим функція Коші E1(r,ρ) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r=ρ має структуру:
(8)
У рівностях (7)-(8) беруть участь функції:
Нехай функція Коші
Властивості (5) функції
Коші дають алгебраїчну систему :
Звідси знаходимо
співвідношення:
(9)
Доповнимо систему (9)
алгебраїчними рівняннями:
(10)
Із алгебраїчної системи
(10) маємо:
Цим функція Коші E2(r,ρ)
визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r=ρ має структуру:
(11)
У рівностях (10)-(11)
беруть участь функції:
.
Нехай функція Коші
Властивості (5) функції
Коші дають систему з двох рівнянь:
Звідси одержуємо
співвідношення:
(12)
Доповнимо рівності(12)
алгебраїчним рівнянням
(13)
Із алгебраїчної системи
(12),(13) знаходимо, що
Цим функція Коші E3(r,ρ) визначена й внаслідок
симетрії відносно діагоналі r=ρ має структуру:
(14)
У рівностях (13),(14)
беруть участь функції:
j=1,2,
Крайова умова в точці r=R0 та умови спряження (3) для
визначення величин й дають алгебраїчну
систему з п’яти рівнянь:
j=1,2
j=1,2 (15)
У системі (15) беруть участь функції
та символ Кронекера [4].
Введемо до розгляду
функції:
j=1,2,
Припустимо, що виконана
умова однозначної розв’язності крайової задачі
(1)-(3): для будь-якого ненульового вектора визначник
алгебраїчної системи (15) [4]
=
(16)
Визначимо головні
розв’язки крайової задачі (1)-(3): 1) породжені крайовою умовою в точці r=R0 функції Гріна
(17)
2) породжені
неоднорідністю умов спряження функції Гріна
(18)
;
3) породжені неоднорідністю
системи (1) функції впливу
(19)
У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи
(15) й підстановки отриманих значень A1,A2,B1,B2,B3 у рівності (4) маємо
(після низки елементарних перетворень)
єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):
. (20)
Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі
(1)-(3) методом інтегрального перетворення, породженого на множині гібридним
диференціальним оператором (ГДО)
(21)
одинична функція Гевісайда [3].
Означення: За область визначення ГДО
приймемо множину G
вектор
–функцій з такими
властивостями 1) вектор-функція неперервна на множині ; 2) функції задовольняють крайові
умови
(22)
3) функції задовольняють умови
спряження
j, k = 1, 2 (23)
Оператор Мν,(α)
самоспряжений й має одну особливу точку r
= ∞ [5]. Тому
його спектр дійсний та неперервний. Можна вважати, що спектральний параметр . Йому відповідає спектральна вектор-функція
При цьому функції повинні задовольняти диференціальні рівняння
r Î (R0, R1),
r Î (R1, R2), (24)
r Î (R2, ∞),
Фундаментальну систему розв’язків для диференціального
рівняння Фур’є складають тригонометричні функції v1=cosb1r та U2=sinb1r [1]; фундаментальну систему розв’язків для
диференціального рівняння Ейлера складають функції та [1]; фундаментальну
систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя складають звичайні функції Бесселя
першого роду та другого роду .
Якщо покласти
r Î (R0, R1)
r Î (R1, R2),
r Î (R2,∞), (25)
то крайова умова в
точці r=R0 та умови спряження (23) для визначення шести величин дають алгебраїчну систему з п’яти
рівнянь:
(26)
У системі (26) беруть
участь функції:
У результаті стандартного розв’язання алгебраїчної системи (26) [4] й підстановки величин
Aj та Bj у рівності (25) маємо функції :
(27).
У рівностях (27) прийняті
позначення:
,
, j=1,2.
Визначимо спектральну
щільність [5]
(28)
та вагову функцію [5]
, (29)
,
Наявність спектральної функції , вагової функції σ(r) та спектральної щільності дає можливість
визначити пряме й обернене гібридне інтегральне
перетворення (ГІП),породжене на множині ГДО :
, (30)
(31)
Тут Î G(область визначення ГДО ).
Єдиний розв’язок крайової задачі
(1)-(3), одержаний за відомою логічною схемою [6] методом ГІП згідно формул
(30),(31), має структуру:
+
+
(32)
У формулі (32) беруть
участь величини та функції:
Порівнюючи розв’язки (20) та (32) в силу єдиності, одержуємо наступні
формули обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними
елементами ГДО :
, (33)
, (34)
, , (35)
, , (36)
Функції визначені формулами (19), функції Гріна визначені формулами (17), а функції Гріна умов спряження
визначені формулами (18).
Зауваження 1. Якщо , то