І.І. Веренич, М.П. Ленюк

 

Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур‘є – Ейлера - (Конторовича - Лєбєдєва) на сегменті [R0,R3] полярної осі

 

Побудуємо обмежений на множині

розв'язок сепаратної системи  звичайних диференціальних рівнянь другого порядку Фур‘є, Ейлера, (Конторовича - Лєбєдєва) для модифікованих функцій

()u2(r) = –g2(r), r Î (R1, R2)                                                             (1)

()u3(r) = –g3(r), r Î (R2, R3),

за крайовими умовами

,                              (2)

та умовами спряження

                                 (3)    

У системі (1) беруть участь диференціальні оператори Фур‘є [1], Ейлера  [1] та Конторовича-Лєбєдєва  [2],

  Припустимо, що виконані умови на коефіцієнти:, ,  , ; , , , , .

  Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур‘є  утворюють функції та  фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера  утворюють функції та  фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння (Конторовича - Лєбєдєва)  утворюють модифіковані функції Бесселя першого роду   та другого роду   [2].

       Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв'язок крайової задачі (1) – (3) методом функцій Коші [1, 3]:

    

                          (4)

     .

          У рівностях (4) - функції Коші [1,3]:

(5)

       (6)

                  (7)     У рівностях (5)-(7) беруть участь функції:

 ,    

,

Крайові умови (2) та умови спряження (3) для визначення величин  дають алгебраїчну систему із шести рівнянь:

,        

          ,                                        (8)

У системі (8) беруть участь функції

і символ Кронекера

Введемо до розгляду функції:

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1) – (3): для будь-якого ненульового векторавизначник алгебраїчної системи (8)

                    (9)

Визначимо головні розв'язки крайової задачі (1)-(3):

1)                 породжені крайовою умовою в точці  функції Гріна

                              (10)

;

2)                 породжені крайовою умовою в точці  функції Гріна

                                                    (11)

         3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

   

 

 

  

                                                      (12)

4) породженні неоднорідністю системи (1) функції впливу

                            (13)

         У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (8), підстановки одержаних значень Aj та Bj у формули (4) маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1)-(3):

                                         (14)

Побудуємо тепер розв'язок крайової задачі (1)-(3) методом інтегрального перетворення, породженого на множині  гібридним диференціальним оператором (ГДО)

                                               (15)

одинична функція Гевісайда [3].

Оскільки (ГДО)  самоспряжений й на множині  не має особливих точок, то його спектр дійсний і дискретний. Власні елементи (ГДО)  знайдемо як ненульовий розв’язок задачі Штурма – Ліувілля: побудувати обмежений на множині  ненульовий розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Фур’є, Ейлера та (Конторовича - Лєбєдєва) для звичайних функцій

()= 0, r Î (R1, R2),

()= 0,                                                             (16)

за крайовими умовами

                (17)

та умовами спряження

        (18)

Тут                     

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є  утворюють функції  та  фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера ()v=0 утворюють функції та [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння (Конторовича  - Лєбєдєва)  утворюють функції  та

Якщо покласти

               (19)

то крайові умови (17) й умови спряження (18) для визначення Aj, Bj дають однорідну алгебраїчну систему із шести рівнянь:

                            (20)

                            

У системі (20) беруть участь функції:

.

Алгебраїчна система (20) має ненульові розв’язки тоді й тільки тоді, коли визначник відмінний від нуля [4]:

 = 0.                         (21)

         У рівнянні (21) прийняті позначення:

, j, k = 1, 2,

, j = 1, 2,

, j = 1, 2;

, j = 1, 2.

      Корені bn трансцендентного рівняння (21), будучи власними числами ГДО , утворюють дискретний спектр [5]. Підставимо в алгебраїчну систему b = bn й відкинемо останнє рівняння внаслідок лінійної залежності.       Візьмемо  A1 = A0, B1 = –A0, де A0 підлягає визначенню. Перше рівняння системи стає тотожністю.

      Стосовно A2, B2 розглянемо алгебраїчну систему:

, j = 1, 2.                       (22)

      Визначник алгебраїчної системи (22)

.

      Отже, алгебраїчна система (22) має єдиний розв’язок:

A2 = ,

B2 = .

      Розглянемо наступну алгебраїчну систему стосовно A3, B3:

, j = 1, 2.                  (23)

     Визначник алгебраїчної системи (23)                                                                           

                   ¹ 0.

     Алгебраїчна система (23) при A0 =  має єдиний розв’язок [5]:

A3 = –w(a); 2(bn), B3 = w(a); 1(bn), bjn = ()1/2, j = .

     Якщо визначені величини Aj, Bj підставити у рівності (19), то одержимо функції:

       = [],         (24)

= [],    

,

.

      Таким чином, власна функція

V(a)(r, bn) =  V(a); j(r, bn)                                                (25)

ГДО  визначена.

      Введемо до розгляду вагову функцію

,

де s1 = c11c12(c21c22)­–1, s3 =1,

й квадрат норми власної вектор-функції

.                    

Наявність спектральної вектор-функції V(a)(r, bn) з квадратом норми  та вагової функції s(r) дає можливість визначити пряме H(a) й обернене  скінченне гібридне інтегральне перетворення (СГІП), породжене на множині I2  ГДО  [6]:

                               ,                         (26)

                                     .                          (27)

      При цьому має місце основна тотожність:

+  +.              (28)

      У рівності (28) прийняті позначення:

, ,                             

            , h1 = s1, h2 = s2,

                       , i, k = 1, 2.

          Побудований методом запровадженого формулами (26), (27) СГІП за відомою логічною схемою єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3) має структуру:

 +

+ ´ +

+  +

 +  ´ , j = ,                           (29)

, q2 = max{;;}.

          Порівнюючи розв’язки (14) та (29) в силу єдиності, одержуємо наступні формули підсумовування поліпараметричних функціональних рядів:

 = , j, k  = ,                                (30)

W (a); 1j(r, q), j = ,                             (31)

W (a); 3j(r, q), j = ,                       (32)

 = , k = 1, 2, j  = ,                             (33)

 = –, k = 1, 2, j  = .                                    (34)

          Функції H (a); jk(r, r, q) визначені формулами (13), функції Гріна
 визначені фомулами (12), функції Гріна W(a); 3j(r, q) визначені формулами (11), а функції Гріна W (a); 1j(r, q) – формулами (10).

          Зауваження 1. Якщо q2 = , то ,  ³ 0,  ³ 0. У цьому випадку b1n = bn, b2n = , b3n = ,  + q2 º º + . 

Зауваження 2. Якщо q2 = , то  ³ 0, ,  ³ 0. У цьому випадку b1n = , b2n = bn, b3n = ,  + q2 º º + .

Зауваження 3. Якщо q2 = , то  ³ 0,  ³ 0, . У цьому випадку b1n = , b2n = , b3n = bn,  + q2 º º + . 

Зауваження 4. Оскільки праві частини у рівностях (30) – (34) не залежать від нерівностей () ³ 0, то можна покласти  =  =  º > 0, звужуючи при цьому сім’ю функціональних рядів.

Підсумком виконаного в даній роботі дослідження є твердження.

Теорема. Якщо вектор-функція f(r) = {; [g2(r)];  [g3(r)]} неперервна на множині I2, а функції gj(r) задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3) і справджується умова (9) однозначної розв’язності крайової задачі (1) – (3), то мають місце формули (30) – (34) підсумовування поліпарметричних функціональних рядів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (15).

 

Список використаних джерел

1.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2.     Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва – Чернівці: Прут, 2002. – 280 с.

3.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

4.     Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.

5.     Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368 с.

6.     Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. – Чернівці: Прут, 2001. – 228 с.

7.     Ленюк М.П. Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів методом скінченних гібридних інтегральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том VI. – Чернівці: Прут, 2006. – 376 с.